§ 5. Состояния в магнитном поле

Теперь займемся формой кривых на фиг. 10.3. Во-первых, если говорить о больших полях, то зависимость энергии от поля довольно интересна и легко объяснима. При достаточно больших В (а именно при ?B/A?1) в формулах (10.37) можно пренебречь единицей. Четверка энергий принимает вид

(10.38)

Это уравнения четырех прямых на фиг. 10.3. Эти формулы можно физически понять следующим образом. Природа стационарных состояний в нулевом поле полностью определяется взаимодействием двух магнитных моментов. Перемешивание базисных состояний |+-> и |-+> в стационарных состояниях |III> и |IV> вызвано этим взаимодействием. Однако вряд ли можно ожидать, что каждая из наших частиц (и протон, и электрон) в сильных внешних полях будет испытывать влияние поля другой частицы; каждая будет действовать так, как если бы во внешнем поле находилась она одна. Тогда (как мы уже много раз видели) спин электрона окажется направленным вдоль внешнего магнитного поля (по нему или против него).

Пусть спин электрона направлен вверх, т. е. вдоль поля; энергия его будет -?_eB. Протон при этом может стоять по-разному. Если у него спин тоже направлен вверх, то его энергия -?_pB. Их сумма равна -(?_е+?_р)B=?B. А это как раз и есть E_I, и это очень приятно, потому что мы описываем состояние |++>=|I>. Есть еще небольшой дополнительный член А (теперь (?B?A), представляющий энергию взаимодействия протона и электрона, когда их спины параллельны. (Мы с самого начала считали А положительным, потому что так должно было быть по теории, о которой шла речь; то же получается и на опыте.) Но спин протона может быть направлен и вниз. Тогда его энергия во внешнем поле обратится в +?_РB, а вместе с электроном их энергия будет -(?_e-?_р) В=?В. А энергия взаимодействия обращается в -А. Их сумма даст энергию Е_III, в (10.38). Так что состояние |III> в сильных полях становится состоянием |+->.

Пусть теперь спин электрона направлен вниз. Его энергия во внешнем поле равна ?_eВ. Если и протон смотрит вниз, то их общая энергия равна (?_e+?_p)В=-?В плюс энергия взаимодействия А (спины-то теперь параллельны). Это приводит как раз к энергии Е_II в (10.38) и соответствует состоянию |-->=|II>, что очень мило. И наконец, если у электрона спин направлен вниз, а у протона — вверх, то мы получим энергию (?_e-?_p)В-А (минус А потому, что спины противоположны), т. е. E_IV. А состояние отвечает |-+>.

«Погодите минутку, — вероятно, скажете вы.— «Состояния |III> и |IV> — это не состояния |+-> и |-+>; они являются их смесями». Верно, но перемешивание здесь едва заметно. Действительно, при B=0 они являются смесями, но мы пока не выясняли, что бывает при больших В. Когда мы для получения энергии стационарных состояний пользовались аналогией между (10.33) и формулами гл. 7, то заодно можно было оттуда взять и амплитуды. Они получатся из (7.23):

Отношение a₂/a₃ — это, конечно, на сей раз C₂/C₃ Вставляя аналогичные величины из (10.33), получаем

или

(10.39)

где вместо Е надо взять подходящую энергию (либо Е_III, либо E_IV). Например, для состояния |III> имеем

(10.40)

Значит, при больших В у состояния |III> С₂?С₃; состояние почти полностью становится состоянием |2>=|+->. Точно так же если в (10.39) подставить E_IV, то получится, что (С₂/С₃)_IV?1; в сильных полях состояние |IV> обращается попросту в состояние |3>=|-+>. Вы видите, что коэффициенты в линейных комбинациях наших базисных состояний, составляющих стационарные состояния, сами зависят от В. Состояние, которое мы именуем |III>, в очень слабых полях представляет собой смесь |+-> и |-+> в пропорции 1:1, но в сильных полях целиком смещается к |+->. Точно так же и состояние |IV>, которое в слабых полях также является смесью |+-> и |-+> в пропорции 1:1 (с обратным знаком), переходит в состояние |-+>, когда спины из-за сильного внешнего поля больше друг с другом не связаны.

Хотелось бы обратить ваше внимание, в частности, на то, что происходит в очень слабых магнитных полях. Имеется одна энергия (-3А), которая не изменяется при включении слабого магнитного поля. И имеется другая энергия (+А), которая при включении слабого магнитного поля расщепляется на три различных уровня энергии. В слабых полях энергии с ростом В меняются так, как показано на фиг. 10.5.

Фиг. 10.5. Состояния атома водорода в слабых магнитных полях.

Допустим, что у нас есть каким-то образом отобранное множество атомов водорода, у которых у всех энергия равна -3А. Если пропустить их через прибор Штерна—Герлаха (с не очень сильными полями), то мы найдем, что они просто проходят целиком насквозь. (Поскольку их энергия не зависит от В, то, согласно принципу виртуальной работы, градиент магнитного поля не создает никакой силы, которая бы ощущалась ими.) Пусть, с другой стороны, мы бы отобрали группку атомов с энергией +А и пропустили их через прибор Штерна—Герлаха, скажем через прибор S. (Опять поля в приборе не должны быть столь сильными, чтобы разрушить внутренность атома; подразумевается, что поля малы настолько, что энергии можно считать линейно зависящими от В.) Мы бы получили три пучка. На состояния |I> и |II> действуют противоположные силы, их энергии меняются по В линейно с наклоном ±?, так что силы сходны с силами, действующими на диполь, у которого ?_z=±?, а состояние |III> проходит насквозь. Мы опять возвращаемся к гл. 3. Атом водорода с энергией +А — это частица со спином 1. Это энергетическое состояние является «частицей», для которой j=1, и может быть описано (по отношению к некоторой системе осей в пространстве) в терминах базисных состояний |+S>, |0S> и |-S>, которыми мы пользовались в гл. 3. С другой стороны, когда атом водорода имеет энергию -3А, он является частицей со спином нуль. (Напоминаем, что все сказанное, строго говоря, справедливо лишь для бесконечно малых магнитных полей.) Итак, состояния водорода в нулевом магнитном поле можно сгруппировать следующим образом:

(10.41)

(10.42)

В гл. 35 (вып. 7) мы говорили, что у всякой частицы компоненты момента количества движения вдоль любой оси могут принимать только определенные значения, всегда отличающиеся на ?. Так, z-компонента момента количества движения J_z может быть равна j?, (j-1)?, (j-2)?,..., (-j)?, где j — спин частицы (который может быть целым или полуцелым). Обыкновенно пишут

(10.43)

где m стоит вместо любого из чисел j, j-1, j-2, ...,-j (в свое время мы не сказали об этом). Вы поэтому часто встретите в книжках нумерацию четырех основных состояний при помощи так называемых квантовых чисел j и m [часто именуемых «квантовым числом полного момента количества движения» (j) и «магнитным квантовым числом» (m)]. Вместо наших символов состояний |I>, |II> и т. д. многие часто пишут состояния в виде |j, m>. Нашу табличку состояний для нулевого поля в (10.41) и (10.42) они бы изобразили в виде табл. 10.3. Здесь нет какой-либо новой физики, это просто вопрос обозначении.

Таблица 10.3. СОСТОЯНИЯ АТОМА ВОДОРОДА В НУЛЕВОМ ПОЛЕ