§ 4. Нормировка состояний с определенной координатой х

Теперь мы вернемся к обсуждению тех изменений в наших основных уравнениях, которые необходимо сделать для работы с континуумом базисных состояний. Когда имеется конечное число дискретных состояний, то фундаментальное условие, которому должна удовлетворять система базисных состояний, имеет вид

(14.36)

Если частица пребывает в одном базисном состоянии, то амплитуда пребывания в другом базисном состоянии равна нулю. С помощью подходящей нормировки можно так определить амплитуду <i|j>, чтобы она была равна единице. Оба эти условия содержатся в (14.36). Теперь мы хотим понять, как надо видоизменить это соотношение, когда пользуются базисными состояниями частицы на прямой. Если известно, что частица пребывает в одном из базисных состояний |х>, то какова амплитуда того, что она пребывает в другом базисном состоянии |x'>? Если х и х' — две разные точки прямой, то амплитуда <x|х'>, конечно, есть нуль, что согласуется с (14.36). Но когда х и х' равны, то амплитуда <x|х' > не будет равна единице из-за той же старой проблемы нормировки. Чтобы увидеть, как надо все подправить, вернемся к (14.19) и применим это уравнение к частному случаю, когда состояние |?> — просто-напросто базисное состояние |х'>. Тогда получится

(14.37)

Далее, амплитуда <x|?> — это как раз то, что мы назвали функцией ?(х). Подобно этому и амплитуда <x'|?>, поскольку она относится к тому же состоянию ?, является той же функцией переменной х', а именно ?(х'). Поэтому (14.37) можно переписать так:

(14.38)

Уравнение должно выполняться для любого состояния ? и, стало быть, для любой функции ?(х). Это требование обязано полностью определить природу амплитуды <x|х'>, которая, конечно, есть попросту функция, зависящая от х и х'.

Наша задача теперь состоит в том, чтобы отыскать функцию f(х, х'), которая после умножения на ?(х) и интегрирования по всем х даст как раз величину ?(х'). Но оказывается, что не существует математической функции, которая это умеет делать! По крайней мере не существует ничего похожего на то, что мы обычно имеем в виду под словом «функция».

Выберем какое-нибудь значение х', например 0, и определим амплитуду <0|x> как некую функцию х, скажем f(х). Тогда (14.38) обратится в

(14.39)

Какого же вида функция f(х) могла бы удовлетворить такому уравнению? Раз интеграл не должен зависеть от того, какие значения принимает ?(х) при х, отличных от нуля, то ясно, что f(х) должна быть равна нулю для всех значений х, кроме нуля. Но если f(х) всюду равна нулю, то интеграл будет тоже равен нулю, и уравнение (14.39) не удастся удовлетворить. Возникает невозможная ситуация: нам нужно, чтобы функция была нулем всюду, кроме одной точки, и давала все же конечный интеграл. Что ж, раз мы не в состоянии сыскать функцию, которая так поступает, то простейший выход — просто сказать, что функция f(х) определяется уравнением (14.39). И именно f(х) — такая функция, которая делает (14.39) правильным. Функция, которая умеет это делать, впервые была изобретена Дираком и носит его имя. Мы обозначаем ее ?(х). Все, что о ней утверждается — это что функция ?(х) обладает странным свойством: если ее подставить вместо f(х) в (14.39), то интеграл выберет то значение, которое ?(х) принимает при х=0; и поскольку интеграл не должен зависеть от ?(х) при х, отличных от нуля, то функция ?(х) должна быть нулем всюду, кроме х=0. Словом, мы пишем

(14.40)

где ?(х) определяется соотношением

(14.41)

Посмотрите, что выйдет, если вместо ? в (14.41) поставить частную функцию «1». Тогда получится

(14.42)

Иначе говоря, функция ?(х) обладает тем свойством, что всюду, кроме х=0, она равна нулю, но интеграл от нее конечен и равен единице. Приходится вообразить, что функция ?(х) обладает в одной точке такой фантастической бесконечностью, что полная площадь оказывается равной единице.

Как представить себе, на что похожа ?-функция Дирака? Один из способов — вообразить последовательность прямоугольников (или другую, какую хотите функцию с пиком), которая становится все уже и уже и все выше и выше, сохраняя все время единичную площадь, как показано на фиг. 14.2.

Фиг. 14.2. Последовательность функций, ограничивающих единичную площадь, вид которых все сильнее и сильнее напоминает ?-функцию.

Интеграл от этой функции от -? до +? всегда равен единице. Если вы умножите ее на произвольную функцию ?(х) и проинтегрируете произведение, то получите нечто, приближенно совпадающее со значением функции при х=0, причем приближение становится все лучше и лучше, по мере того как прямоугольники становятся уже и уже. Если хотите, можете представлять ?-функцию посредством такого рода предельного процесса. Но единственно здесь важно то, что ?-функция определена так, что (14.41) справедливо для каждой волновой функции ?(х). Это однозначно определяет ?-функцию. Ее свойства тогда получаются такими, как было сказано.

Заменим аргумент ?-функции с х на х- х', и соотношения обратятся в ?(х-x')=0,

(14.43)

Если в (14.38) вместо амплитуды <x|х'> подставить ?(x- х'), то это уравнение будет выполнено. В итоге получаем, что для наших базисных состояний с координатой х условие, соответствующее формуле (14.36), имеет вид

(14.44)

Теперь мы завершили все необходимые видоизменения наших основных уравнений, нужные для работы с континуумом базисных состояний, соответствующих точкам на прямой. Обобщение на три измерения вполне очевидно: во-первых, координата х заменяется вектором r; во-вторых, интегралы по х заменяются на интегралы по х, у и z (иными словами, они становятся интегралами по объему); в-третьих, одномерную ?-функцию надо заменить просто произведением трех ?-функций от x, от y и от z: ?(х-х')?(у-у')?(z-z'). Собирая все вместе, получаем следующую совокупность уравнений для амплитуд частицы в трехмерном мире:

(14.45)

(14.46)

(14.47)

(14.48)

А что бывает, когда частиц не одна, а больше? Мы расскажем вам, как управляться с двумя частицами, и вы сразу поймете, что нужно делать, если вам понадобится оперировать с несколькими частицами. Пусть имеются две частицы; назовем их № 1 и № 2. Что применить в качестве базисных состояний? Одну вполне приемлемую совокупность можно задать, сказав, что частица № 1 находится в х₁, а частица № 2 — в х₂, и записав это в виде |x₁, х₂>. Заметьте, что указание координаты только одной частицы не определяет базисного состояния. Каждое базисное состояние обязано определять условия всей системы целиком. Вы не должны думать, что каждая частица движется независимо как трехмерная волна. Всякое физическое состояние |?> можно определить, задав все амплитуды <x₁, х₂ |?> того, что пара частиц будет обнаружена в х₁ и x₂. Эта обобщенная амплитуда поэтому является функцией двух совокупностей координат x₁ и x₂. Вы видите, что такая функция — это уже не волна в смысле колебания, которое разбегается в трех измерениях. Точно так же это и не простое произведение двух самостоятельных волн, по одной для каждой частицы. Это в общем случае какая-то волна в шести измерениях, определяемых числами х₁ и x₂. Если в природе имеются две взаимодействующие частицы, то не существует способа описать то, что происходит с одной из частиц, попытавшись выписать волновую функцию для нее одной. Известные парадоксы, которые мы рассматривали в первых главах (где объявлялось, что измерения, проделанные над одной частицей, в состоянии предсказать, что будет с другой, или что они могут разрушить интерференцию), причинили людям много неприятностей, потому что они пытались придумывать волновую функцию одной отдельной частицы вместо правильной волновой функции координат обеих частиц. Полное описание можно правильно провести только в терминах функций координат обеих частиц.