Добавление 1. Вывод матрицы поворота[78]

Для тех, кто хотел бы разобраться в этом поподробнее, мы вычислим сейчас общую матрицу поворота для системы со спином (полным моментом количества движения) j. В расчете общего случая на самом деле большой необходимости нет; важно понять идею, а все результаты вы сможете найти в таблицах, которые приводятся во многих книжках. Но, с другой стороны, вы зашли уже так далеко, что у вас, естественно, может возникнуть желание убедиться, что вы и впрямь в состоянии понять даже столь сложные формулы квантовой механики, как (16.35).

Расширим рассуждения § 4 на систему со спином j, которую будем считать составленной из 2j объектов со спином ¹/₂. Состояние с m=j имело бы вид |+ + + ... +> (с j плюсами). Для m=j-1 было бы 2j членов типа |+ + ... + + ->, |+ + ... +- +> и т. д. Рассмотрим общий случай, когда имеется r плюсов и s минусов, причем r+s=2j. При повороте вокруг оси z от каждого из r плюсов появится множитель e^+i?/2. В итоге фаза изменится на i(r/2-s/2)?. Мы видим, что

(16.59)

Как и в случае J=³/₂, каждое состояние с определенным m должно быть суммой всех состояний с одними и теми же r и s, взятых со знаком плюс, т. е. состояний, отвечающих всевозможным перестановкам с r плюсами и s минусами. Мы считаем, что вам известно, что всего таких сочетаний есть (r+s)!/r!s!. Чтобы нормировать каждое состояние, надо эту сумму разделить на корень квадратный из этого числа. Можно написать

(16.60)

где

(16.61)

Введем еще новые обозначения, они нам помогут в счете. Ну а поскольку мы уж определили состояния при помощи (16.60), то два числа r и s определяют состояние ничуть не хуже, чем j и m. Мы легче проследим за выкладками, если обозначим

(16.62)

где [см.. (16.61)]

Далее, (16.60) мы запишем, пользуясь специальным обозначением

(16.63)

Обратите внимание, что показатель степени в общем множителе мы изменили на +¹/₂. Это оттого, что внутри фигурных скобок в (16.60) стоит как раз N=(r+s)!/r!s! слагаемых. Если сопоставить (16.63) с (16.60), то ясно, что

— это краткая запись выражения

где N — количество различных слагаемых в скобках. Эти обозначения удобны тем, что каждый раз при повороте все знаки плюс вносят один и тот же множитель, так что в итоге он получается в r-й степени. Точно так же все знаки минус дадут некоторый множитель в s-й степени, в каком бы порядке эти знаки ни стояли.

Теперь положим, что мы повернули нашу систему вокруг оси у на угол ?. Нас интересует R_y(?)|^r_s>. Оператор R_y(?), действуя на каждый |+>, дает

(16.64)

где С=cos?/2 и S=sin ?/2. Когда же R_y(?) действует на |->, это приводит к

Так что искомое выражение равно

(16.65)

Теперь надо возвысить биномы в степень и перемножить. Появятся члены со всеми степенями |+> от нуля до r+s. Посмотрим, какие члены дадут r'-ю степень |+>. Они всегда будут сопровождаться множителем типа |->^s', где s'=2j-r'. Соберем их вместе. Получится сумма членов типа |+>^r' |->^s' с численными коэффициентами А_r', куда входят коэффициенты биномиального разложения вместе с множителями С и S. Уравнение (16.65) тогда будет выглядеть так:

(16.66)

Теперь разделим каждое А_r' на множитель [(r'+s')!/r'!s'!]^1/2 и обозначим частное через В_r. Тогда (16.66) превратится в

(16.67)

[Можно просто сказать, что требование, чтобы (16.67) совпадало с (16.65), определяет B_r']

Если так определить В_r', то оставшиеся множители в правой части (16.67) будут как раз состояниями|^r'_s'>. Итак, имеем

(16.68)

где s' всегда равняется r+s-r'. А это, конечно, означает, что коэффициенты В_r' и есть искомые матричные элементы

(16.69)

Теперь, чтобы найти B_r', остается немного: лишь пробиться через алгебру.

Сравнивая (16.67) с (16.65) и вспоминая, что r'+s'=r+s, мы видим, что B_r' — это просто коэффициент при a^r'b^s' в выражении

(16.70)

Осталась лишь нудная работа разложить скобки по биному Ньютона и собрать члены с данными степенями а и b. Если вы все это проделаете, то увидите, что коэффициент при а^r'b^s' в (16.70) имеет вид

(16.71)

Сумма берется по всем целым k, при которых аргументы факториалов больше или в крайнем случае равны нулю. Это выражение и есть искомый матричный элемент.

В конце надо вернуться к нашим первоначальным обозначениям j, m и m', пользуясь формулами

Проделав эти подстановки, получим уравнение (16.34) из § 4.