§ 2. Симметрия и ее сохранение

Прежде чем применять только что найденный результат, хотелось бы еще немного вникнуть в идею симметрии. Положим, что стечение обстоятельств таково, что после действия оператора ^Q на состояние получается опять то же состояние. Это очень частный случай, но все же допустим, что так сложилось, что состояние |?'>=^Q|?₀>. физически совпадает с состоянием |?₀>. Это значит, что |?'> равняется |?₀>, если не считать некоторого фазового множителя[59]. Как это себе представлять? Пусть, например, имеется ион H₂⁺ в состоянии, которое мы когда-то обозначали |I>. У этого состояния имеется одинаковая амплитуда побывать в базисных состояниях |1> и |2>. Вероятности показаны столбиками на фиг. 15.3, а.

Фиг. 15.3. Состояние |I> и состояние ^P|I>, получаемые отражением |I> в плоскости, проходящей посредине между атомами в ионе Н₂⁺.

Если мы на состояние |I> подействуем оператором отражения ^P, он перевернет его, поменяв местами |1> с|2>, а |2> с|1>; получатся вероятности, показанные на фиг. 15.3,б. Перед нами опять состояние |I>. Если начать с состояния |II>, то вероятности до и после отражения будут выглядеть тоже одинаково. Правда, если посмотреть на амплитуды, то разница все же есть. У состояния |I> после отражения амплитуды останутся теми же, у состояния |II> они приобретут противоположный знак. Иными словами,

(15.12)

Если написать ^P|?₀>=e^i?|?₀>, то у состояния |I> мы имеем е^i?=1, а у состояния |II> имеем е^i?=-1.

Возьмем другой пример. Пусть у нас есть правополяризованный по кругу фотон, распространяющийся в направлении z. Если мы совершим операцию поворота вокруг оси z, то, как мы знаем, это просто приведет к умножению амплитуды на e^i?, где ? — угол поворота. Значит, в этом случае для операции поворота ? просто равно углу поворота.

Далее, ясно, что если оказывается верным, что оператор ^Q в какой-то момент времени просто меняет фазу состояния (скажем, в момент t=0), то это будет верно всегда. Иначе говоря, если состояние |?₁> переходит за время t в состояние |?₂>:

(15.13)

и если симметрия физической картины такова, что

(15.14)

то верно и то, что

(15.15)

Это ясно, ведь

и если ^Q|?₁>=е^i?|?₁>, то

[Верхние равенства следуют из (15.13) и (15.10) для симметричной системы, нижние — из (15.14) и из того, что всякое число, скажем е^i?, коммутирует с оператором.]

Итак, при некоторых симметриях то, что верно сначала, верно всегда. Но разве это не закон сохранения? Да! Он утверждает, что если вы взглянете на исходное состояние и, проделав где-то в стороне небольшой подсчет, откроете, что операция, которая является операцией симметрии для системы, приводит только к умножению на некоторый фазовый множитель, то вы будете уверены, что это же свойство будет выполнено для конечного состояния — та же операция умножит и конечное состояние на тот же фазовый множитель. Это будет верно всегда, даже если вы ничего не знаете о том внутреннем механизме мира, который изменяет систему от начального состояния к конечному. Даже если вы не позаботились вглядеться в детали того, каким именно способом система переходит от одного состояния к другому, вы все равно имеете право говорить, что если вещь вначале находилась в состоянии с определенным характером симметрии и если гамильтониан этой вещи симметричен относительно этой операции симметрии, тогда тот же характер симметрии останется у состояния на вечные времена. Это основа всех законов сохранения квантовой механики.

Рассмотрим частный пример. Возьмем опять оператор ^P. Сперва, правда, немножко изменим определение операции Р. Пусть ^P будет не просто зеркальным отражением, потому что оно требует определения плоскости, в которой поставлено зеркало. Существует особый вид отражения, который указания плоскости не требует. Переопределим операцию ^P таким образом: сперва вы отражаете в зеркале, находящемся в плоскости z, так что z переходит в -z, x остается х, а у остается у; затем вы поворачиваете систему на угол 180° вокруг оси z, так что х переходит в -х, а у в -у. Все вместе называется инверсией, обращением координат. Каждая точка проецируется через начало координат в диаметрально противоположное положение. Все координаты всего на свете меняют знак. Эту операцию мы, как и прежде, будем обозначать символом Р. Она изображена на фиг. 15.4 и немного удобнее, чем простая операция отражения, потому что не нужно указывать, в какой координатной плоскости происходит отражение, достаточно лишь указать точку, являющуюся центром симметрии.

Фиг. 15.4. Операция инверсии ^P. То, что находится в точке A(х, у, z), переходит в точку А'(-х, -у, -z).

Теперь предположим, что у нас есть состояние |?₀>, которое при операции инверсии переходит в е^i?|?₀>, т. е.

(15.16)

Сделаем теперь новую инверсию. После двух инверсий мы вернемся к тому, с чего начали: ничего не изменится. Должно получиться

Но

Отсюда следует, что (е^i?)²=1. Значит, если оператор инверсии является операцией симметрии для какого-то состояния, то у ? могут быть только две возможности:

а это означает, что или

(15.17)

В классической физике, если состояние симметрично относительно инверсии, то эта операция дает опять то же состояние. А в квантовой механике имеются две возможности: получается либо то же состояние, либо минус то же состояние. Когда получается то же состояние, ^P|?₀>=|?₀>, мы говорим, что у состояния |?₀> четность положительна. Если знак меняется, так что ^P|?₀>=-|?₀>, мы говорим, что четность состояния отрицательна. (Оператор инверсии ^P известен также как оператор четности.) Состояние |I> иона Н₂⁺ обладает положительной четностью; состояние же |II> — отрицательной [см. (15.12)]. Бывают, конечно, состояния, не симметричные относительно операции ^P; это состояния без определенной четности. Например, в системе Н₂⁺ состояние |I> имеет положительную четность, состояние |II> — отрицательную, а состояние |1> определенной четности не имеет.

Когда мы говорим о том, что операция (например, инверсия) была совершена «над физической системой», то это можно представлять себе двояким образом. Можно считать, что все, что было в точке r, физически сдвинулось в обратную точку -r; или можно считать, что мы смотрим на ту же систему из новой системы отсчета х', y', z', связанной со старой формулами х'=-х, у'=-у и z'=-z. Точно так же, когда мы говорим о поворотах, то можно либо считать, что мы поворачиваем целиком всю физическую систему, либо что поворачиваем систему координат, в которой мы измеряем нашу систему, оставляя последнюю закрепленной в пространстве. Эти две точки зрения по существу равноценны. Они равноценны и при повороте, только поворот системы на угол ? подобен повороту системы отсчета на отрицательный угол —?. В нашем курсе мы обычно смотрели, что получается, когда берется проекция на новую систему осей. То, что при этом получается, совпадает с тем, что получится, если мы оставим оси прежними и повернем тело на столько же назад. Когда вы это делаете, не забудьте поменять знаки углов[60].

Многие законы физики (но не все) не меняются при отражении или инверсии координат. Они симметричны по отношению к инверсии. Законы электродинамики, например, не изменяются, если мы меняем x на -х, у на -у и z на -z во всех уравнениях. То же относится и к законам тяжести, и к сильным взаимодействиям ядерной физики. Только у слабых взаимодействий, ответственных за ?-распад, нет такой симметрии. [Мы обсуждали это несколько подробнее в гл. 52 (вып. 4).] Но мы сейчас пренебрежем ?-распадом. Тогда в любой физической системе, на которую, как можно думать, ?-распад не оказывает заметного влияния (в качестве примера возьмем испускание света атомом), гамильтониан ^H и оператор ^P будут коммутировать. В этих обстоятельствах верно следующее утверждение. Если четность состояния вначале положительна и вы поинтересуетесь физической ситуацией через некоторое время, то увидите, что четность останется положительной. Пусть, например, нам известно, что атом перед тем, как испустить фотон, находился в состоянии с положительной четностью. Вы рассматриваете всю эту систему (включая фотон) после испускания; четность опять будет положительна (и точно так же было бы, если бы вы начали с отрицательной четности). Этот принцип именуется сохранением четности. Вы теперь понимаете, почему слова «сохранение четности» и «симметрия относительно отражений» в квантовой механике тесно переплетены. Хотя до последних лет считалось, что природа всегда сохраняет четность, теперь известно, что это не так. Выяснилось, что это неверно, потому что реакция ?-распада не обладает симметрией относительно инверсии, обнаруженной в других законах физики.

Теперь мы можем доказать интересную теорему (справедливую до тех пор, пока слабыми взаимодействиями можно пренебрегать): любое состояние определенной энергии, не являющееся вырожденным, обязано обладать определенной четностью. Его четность должна быть либо положительна, либо отрицательна. (Припомните, что нам иногда встречались системы, в которых несколько состояний имели одну и ту же энергию,— такие состояния мы называем вырожденными. Так вот наша теорема к ним не относится.)

Мы знаем, что если |?₀> — состояние определенной энергии, то

(15.18)

где Е — просто число, энергия состояния. Если у нас имеется произвольный оператор ^Q, который является оператором симметрии для системы, то мы можем доказать, что

(15.19)

если только |?₀> — единственное состояние с данной энергией. Рассмотрим новое состояние |?'₀> которое вы получаете после действия ^Q. Если вся физика симметрична, то |?'₀> должно иметь ту же энергию, что и |?₀>. Но мы ведь выбрали случай, когда состояние с такой энергией только одно, а именно |?₀>; значит, |?'₀> должно быть тем же состоянием, отличаясь разве что фазой. Таково физическое доказательство.

Но то же последует и из нашей математики. Наше определение симметрии —это (15.10) или (15.11), справедливое для любого состояния |?>:

(15.20)

Но сейчас речь идет о состоянии |?₀>, которое является состоянием с определенной энергией, так что ^H|?₀>=Е|?₀>. А раз Е — просто число, то оно попросту проходит сквозь ^Q, и мы имеем

так что

(15.21)

Значит, |?'₀>=^Q|?₀> — тоже состояние ^H с определенной энергией и при этом с тем же самым Е. Но по нашей гипотезе имеется только одно такое состояние; значит, |?'₀> должно быть равно e^i?|?₀>.

Все, что мы только что доказали, относится к любому оператору ^Q, лишь бы он был оператором симметрии для физической системы. Поэтому когда в рассмотрение входят только электрические силы и сильные взаимодействия (и нет никакого ?-распада), так что симметрия относительно инверсии является вполне допустимым приближением, в этих обстоятельствах ^P|?>=е^i?|?>. Но мы видели также, что е^i? обязано равняться либо +1, либо -1. Итак, любое состояние с определенной энергией (если оно не вырождено) навсегда снабжено либо положительной, либо отрицательной четностью.