§ 1. Операции и операторы

Для того чтобы управиться со всем, что мы до сих пор делали в квантовой механике, достаточно было бы обычной алгебры, но мы все же время от времени демонстрировали особые способы записи квантовомеханических величин и уравнений. Мы хотели бы рассказать теперь немного больше о некоторых интересных и полезных способах описания квантовомеханических величин.

К предмету квантовой механики можно подойти разными способами, и во многих книгах прибегают совсем к иному подходу, чем у нас. Когда вы начнете читать другие книжки, то может оказаться, что вам не удастся сразу связать то, что в них говорится, с тем, что делали мы. Хотя в этой главе мы и получим кое-какие новые результаты, она не похожа на другие главы. У нее совсем иная цель: рассказать о других способах выражения тех же самых физических представлений. Зная это, вы легче поймете, о чем говорится в других книжках.

Когда люди впервые начали разрабатывать классическую механику, они неизменно расписывали свои уравнения через х-, у- и z-компоненты. Затем кто-то сделал шаг вперед и указал, что все можно упростить, введя векторные обозначения. Правда, очень часто, чтобы представить себе задачу конкретнее, вы разбиваете векторы обратно на их компоненты. Но обычно все же куда легче делать расчеты и разбираться в существе дела, работая с векторами. В квантовой механике нам тоже удалось упростить запись многих вещей, воспользовавшись идеей «вектора состояния». Вектор состояния |?> ничего общего, конечно, не имеет с геометрическими векторами в трехмерном пространстве; это просто отвлеченный символ, который обозначает физическое состояние, отмечаемое своим «значком» или «названием» ?. Представление это весьма и весьма полезно, потому что на языке этих символов законы квантовой механики выглядят как алгебраические уравнения. К примеру, тот наш фундаментальный закон, что всякое состояние можно составить из линейной комбинации базисных состояний, записывается так:

(18.1)

где С_i — совокупность обычных (комплексных) чисел, амплитуд C_i=<i|?>, а |1>, |2>, |3> и т. д. обозначают базисные состояния в некотором базисе, или представлении.

Если вы берете какое-то физическое состояние и что-то проделываете над ним (поворачиваете или ждете в течение времени ?t или еще что-то), то вы получаете уже другое состояние. Мы говорим: «производя над состоянием операцию, получаем новое состояние». Эту же идею можно выразить уравнением

(18.2)

Операция над состоянием создает новое состояние. Оператор А обозначает некоторую определенную операцию. Когда эта операция совершается над каким-то состоянием, скажем над |?>, то она создает какое-то другое состояние |?>.

Что означает уравнение (18.2)? Мы определяем его смысл так. Умножив уравнение на <i| и разложив |?> по (18.1), вы получите

(18.3)

(|j> — это состояния из той же совокупности, что и |i>. Теперь это просто алгебраическое уравнение. Число <i|?> показывает, какое количество базисного состояния |i> вы обнаружите в |?>, и оно определяется через линейную суперпозицию амплитуд <j|?> того, что вы обнаружите |?> в том или ином базисном состоянии. Числа <i|^A|j> — это попросту коэффициенты, которые говорят, сколько (какая доля) состояния <j|?> входит в сумму. Оператор А численно описывается набором чисел, или «матрицей»

(18.4)

Значит, (18.2) это запись уравнения (18.3) на высшем уровне. А на самом деле даже немножко и сверх того: в нем подразумевается нечто большее. В (18.2) нет ссылки на ту или иную систему базисных состояний. Уравнение (18.3) — это образ уравнения (18.2) в некоторой системе базисных состояний. Но, как известно, система годится любая. Именно это и имеется в виду в (18.3). Операторная манера записи, стало быть, уклоняется от того или иного выбора системы. Конечно, если вам хочется определенности, вы вольны избрать одну из систем. И когда вы делаете этот выбор, вы пишете уравнение (18.3). Значит, операторное уравнение (18.2) — это более отвлеченный способ записи алгебраического уравнения (18.3). Это очень походит на разницу между записью

и записью

Первый способ нагляднее. Но если вам понадобятся числа, вы наверняка зададите сперва компоненты относительно некоторой системы осей. Точно так же, если вы хотите дать понять, что за штука А, вам нужно быть готовыми задать матрицу А_ij через некоторую совокупность базисных состояний. И пока вы имеете в виду определенную совокупность чисел A_ij, уравнение (18.2) означает то же, что и (18.3). (И нужно еще помнить, что если уж вы знаете матрицу для одной частной совокупности базисных состояний, то всегда сможете подсчитать матрицу, соответствующую любому другому базису. Матрицу всегда можно преобразовать от одного представления к другому.)

Операторное уравнение (18.2) допускает и другие возможности. Если мы представили себе некоторый оператор А, то его можно применить к любому состоянию |?> и он создаст новое состояние ^A |?>. Временами получаемое таким путем «состояние» может оказаться очень своеобразным — оно может уже не представлять собой никакой физической ситуации, с которой можно встретиться в природе. (Например, может получиться состояние, которое не нормировано на вероятность получить один электрон.) Иными словами, временами мы можем получить «состояния», которые есть математически искусственные образования. Эти искусственные «состояния» могут все равно оказаться полезными, чаще всего в каких-либо промежуточных вычислениях.

Мы уже приводили много примеров квантовомеханических операторов. Встречался нам оператор поворота ^R_у(?), который, взяв состояние |?>, делает из него новое состояние, представляющее собой старое состояние с точки зрения повернутой системы координат. Встречался оператор четности (или инверсии) ^P, создающий новое состояние обращением всех координат. Встречались и операторы ^?_х, ^?_у и ^?_z для частиц со спином ¹/₂.

Оператор ^J_z определялся в гл. 15 через оператор поворота на малые углы ?:

(18.5)

Это, конечно, попросту означает, что

(18.6)

В этом примере ^J_z|?> — это умноженное на ?/i? состояние, получаемое тогда, когда вы повернете |?> на малый угол ? и затем вычтете прежнее состояние. Оно представляет «состояние», являющееся разностью двух состояний.

Еще один пример. Мы имели оператор ^p_х, он назывался оператором (x-компоненты) импульса и определялся уравнением, похожим на (18.6). Если ^D_x(L) — оператор, который смещает состояние вдоль х на длину L, то ^p_х определялось так:

(18.7)

где ? — малое смещение. Смещение состояния |?> вдоль оси х на небольшое расстояние ? дает новое состояние |?'>. Мы говорим, что это новое состояние есть старое состояние плюс еще новый кусочек

Операторы, о которых мы говорим сейчас, действуют на вектор состояния, скажем на |?>, являющийся абстрактным описанием физической ситуации. Это совсем не то, что алгебраические операторы, действующие на математические функции. Например, d/dx это «оператор», действие которого на f(x) создает из f(x) новую функцию f'(x)=df/dx. Другой пример алгебраического оператора — это ?². Можно понять, отчего в обоих случаях пользуются одним и тем же словом, но нужно помнить, что это разные типы операторов. Квантовомеханический оператор А действует не на алгебраическую функцию, а на вектор состояния, скажем на |?>. В квантовой механике употребляются и те и другие операторы, и часто, как вы увидите, в уравнениях сходного типа.

Когда вы впервые изучаете предмет, то все время надо иметь в виду эту разницу. А позднее, когда предмет вам станет ближе, вы увидите, что не так уж важно делать резкое различие между одними операторами и другими. И во многих книгах, как вы убедитесь, оба типа операторов обозначаются одинаково!

Теперь нам пора продвинуться вперед и узнать о многих полезных вещах, которые можно проделывать с помощью операторов. Но для начала небольшое замечание. Пускай у нас имеется оператор ^A, матрица которого в каком-то базисе есть A_ij?<i|^A|j>. Амплитуда того, что состояние ^A|?> находится также в некотором другом состоянии |?>, есть <?|^A|?>. Имеет ли смысл комплексное сопряжение этой амплитуды? Вы, вероятно, сможете показать, что

(18.8)

где ^A^† (читается «А с крестом») это оператор, матричные элементы которого равны

(18.9)

Иначе говоря, чтобы получить i, j-й элемент матрицы А^†, вы обращаетесь к j, i-му элементу матрицы А (индексы переставлены) и комплексно его сопрягаете. Амплитуда того, что состояние ^A^†|?> находится в состоянии |?>, комплексно сопряжена амплитуде того, что ^A|?> находится в |?>. Оператор ^A^† называется «эрмитово сопряженным» оператору ^A. Многие важные операторы квантовой механики имеют специальное свойство: если вы их эрмитово сопрягаете, вы опять возвращаетесь к тому же оператору. Если В как раз такой оператор, то ^В^†=^В; его называют «самосопряженным», или «эрмитовым», оператором.