§ 2. Волновая функция

Чтобы получить некоторое представление о том, как теперь все будет выглядеть, вернемся к самому началу и изучим проблему описания движения электрона по прямой, не рассматривая состояний, связанных с атомами решетки. Мы хотим возвратиться к самому началу и посмотреть, какими представлениями нужно пользоваться, чтобы описать движение свободной частицы в пространстве. Раз нас интересует поведение частицы вдоль континуума точек, то придется иметь дело с бесконечным множеством возможных состояний и, как вы увидите, идеи, которые были развиты для конечного числа состояний, потребуют некоторых технических видоизменений.

Начнем с того, что вектором состояния |х> обозначим состояние, в котором частица расположена в точности в точке с координатой х. Для каждого значения х вдоль прямой — для 1,73, для 9,67, для 10,00 и т. д.— имеется соответствующее состояние. Выберем эти состояния |х> в качестве базисных. Если это сделать для всех точек х прямой, то получится полная совокупность состояний для движения в одном измерении. Теперь положим, что имеется состояние другого рода, скажем |?>, в котором электрон как-то распределен вдоль прямой. Один из способов описать это состояние — задать все амплитуды того, что электрон будет также найден в каждом из базисных состояний |x>. Надо задать бесконечную совокупность амплитуд, по одной для каждого х. Запишем их в виде <x|?>. Каждая из этих амплитуд — комплексное число, и поскольку для каждого значения х существует одно такое число, амплитуда <x|?> является в действительности просто функцией х. Запишем ее также в виде С(х):

(14.14)

Мы уже рассматривали такие амплитуды, которые непрерывным образом меняются с координатами, говоря в гл. 5 (вып. 8) об изменениях амплитуд во времени. Мы, например, показали там, что следует ожидать, что частица с определенным импульсом будет обладать особым типом изменения своей амплитуды во времени. Если частица имеет определенный импульс р и соответствующую ему определенную энергию Е, то амплитуда того, что она будет обнаружена в любом заданном месте x, такова:

(14.15)

Это уравнение выражает важный общий принцип квантовой механики, который связывает базисные состояния, соответствующие различным положениям в пространстве, с другой системой базисных состояний — со всеми состояниями определенного импульса. В некоторых задачах состояния определенного импульса удобнее, чем состояния с определенным х. И любая другая система базисных состояний также годится для описания квантовомеханической ситуации. К связи между ними мы еще вернемся. А сейчас мы по-прежнему будем придерживаться описания на языке состояний |х>.

Прежде чем продолжать, прибегнем к небольшой замене обозначений, которая, надеемся, вас не слишком смутит. Форма функции С(х), определенной уравнением (14.14), естественно, будет зависеть от рассматриваемого состояния |?>. Это нужно как-то отметить. Можно, например, указать, о какой функции С(х) идет речь, поставив снизу индекс, скажем С_?(х). Хотя такое обозначение вполне подошло бы, но оно все же чуточку громоздко и в большинстве книг вы его не встретите. Обычно просто убирают букву С и пользуются символом ? для определения функции

(14.16)

Поскольку это обозначение принято во всем мире, неплохо было бы и вам привыкнуть к нему и не пугаться, встретив его где-нибудь. Надо только помнить, что ? теперь будет использоваться двояким образом. В (14.14) ? обозначает метку, которой мы отметили заданное физическое состояние электрона. А в (14.16) слева символ ? применяется для определения математической функции от х, равной амплитуде, связываемой с каждой точкой х прямой. Надеемся, что это не слишком смутит вас, когда вы привыкнете к самой идее. Кстати, функцию ?(х) обычно именуют «волновой функцией», потому что она очень часто имеет форму комплексной волны своих переменных.

Раз мы определили ?(х) как амплитуду того, что электрон в состоянии ? обнаружится в точке х, то хотелось бы интерпретировать квадрат абсолютной величины ? как вероятность обнаружить электрон в точке х. Но, к сожалению, вероятность обнаружить электрон в точности в каждой данной точке равна нулю. Электрон в общем случае размазывается по какому-то участку прямой, и поскольку точек на каждом участке бесконечно много, то вероятность оказаться в любой из них не может быть конечным числом. Вероятность обнаружить электрон мы можем описать только на языке распределения вероятностей[55], которое дает относительную вероятность обнаружить электрон в различных неточно указанных местах прямой. Пусть Вер. (х, ?х) обозначает вероятность обнаружить электрон в узком интервале ?х возле точки х. Если мы в каждой физической ситуации будем пользоваться достаточно мелким масштабом, то вероятность будет от точки к точке меняться плавно, и вероятность обнаружить электрон в произвольном конечном маленьком отрезке прямой ?х будет пропорциональна ?х. И можно так изменить наши определения, чтобы это было учтено. Можно считать, что амплитуда <x|?> представляет своего рода «плотность амплитуд» для всех базисных состояний |х> в узком интервале х. Поскольку вероятность обнаружить электрон в узком интервале ?х вблизи х должна быть пропорциональна длине интервала ?х, мы выберем такое определение <х |?>, чтобы соблюдалось следующее условие:

Амплитуда <x|?> поэтому пропорциональна амплитуде того, что электрон в состоянии ? будет обнаружен в базисном состоянии х, а коэффициент пропорциональности выбран так, что квадрат абсолютной величины амплитуды <x|?> дает плотность вероятности обнаружить электрон в любом узком интервале. Можно писать и так:

(14.17)

Теперь надо изменить некоторые наши прежние уравнения, чтобы согласовать их с этим новым определением амплитуды вероятности. Пусть имеется электрон в состоянии |?>, а мы хотим знать амплитуду того, что он будет обнаружен в другом состоянии |?>, которое может соответствовать другим условиям размазанности электрона. Когда речь шла о конечной системе дискретных состояний, мы пользовались уравнением (14.5). До изменения нашего определения амплитуд мы должны были писать

(14.18)

А теперь если обе эти амплитуды нормированы так, как описано выше, то сумма по всем состояниям из узкого интервала х будет эквивалентна умножению на ?x, а сумма по всем значениям х превратится просто в интеграл. При наших измененных определениях правильная формула будет такой:

(14.19)

Амплитуда <x|?> — это то, что мы теперь называем ?(х); точно так же амплитуду <x|?> мы обозначим ?(х). Вспоминая, что <?|x> комплексно сопряжена с <x|?>, мы можем (14.18) переписать в виде

(14.20)

При наших новых определениях все формулы останутся прежними, если только всюду знак суммы заменить интегрированием по х.

К тому, что было сказано, нужно сделать одну оговорку. Любая подходящая система базисных состояний должна быть полной, если хотят, чтобы она сполна отражала все, что происходит. Для одномерного движения электрона в действительности недостаточно указать только базисные состояния |x>, потому что в каждом из этих состояний спин электрона может быть направлен вверх или вниз. Один из способов получить полную систему — взять две совокупности состояний по х: одну для спина вверх, другую для спина вниз. Мы, впрочем, пока не будем входить в такие подробности.