§ 4. Общее решение для водорода

В уравнении (17.35) мы записали волновые функции атома водорода в виде

(17.37)

Эти волновые функции должны быть решениями дифференциального уравнения (17.7). Посмотрим, что это означает. Подставим (17.37) в (17.7); получим

(17.38)

Помножим все на r²/F_l и переставим члены; результат будет таков:

(17.39)

Левая часть этого уравнения зависит от ? и ?, а от r не зависит. Какое бы значение r мы ни взяли, от этого левая часть не изменится. Значит, то же должно быть выполнено и для правой части. Хотя в выражении в квадратных скобках там и сям попадаются разные r, все выражение от r зависеть не может, иначе бы не получилось уравнение, которое годится для всех r. Кроме того, как вы видите, эта скобка не зависит ни от ?, ни от ?. Она должна быть постоянным числом. Его величина имеет право зато зависеть от значения l того состояния, которое мы изучаем, поскольку этому состоянию принадлежит функция F_l; поэтому постоянное число мы обозначим K_l. Уравнение (17.35), стало быть, равнозначно двум уравнениям

(17.40)

(17.41)

Теперь взглянем на то, что мы сделали. Для каждого состояния, описываемого числами l и m, мы знаем функции Y_l,m; тогда из уравнения (17.40) можно определить K_l Затем, подставив K_l в (17.41), мы получим дифференциальное уравнение для функции F_l(r). Если мы его сможем решить, то все множители, входящие в (17.37), нам станут известны, и мы узнаем ?(r).

Чему же равно К_l? Ну, во-первых, заметьте, что при всех m (входящих в данное l) оно должно быть одним и тем же, поэтому мы вправе выбрать в Y_l,m то m, какое нам нравится, и вставить его в (17.40). Пожалуй, проще всего взять Y_l,l. Из уравнения (16.24)

(17.42)

Матричный элемент R_y(?) тоже совсем прост:

(17.43)

где b — некоторое число[81]. Объединяя их, получаем

(17.44)

Подстановка этой функции в (17.40) даст

(17.45)

Теперь, когда мы определили К_l, уравнение (17.41) даст нам радиальную функцию F_l(r). Перед нами обычное уравнение Шредингера, у которого угловая часть заменена ее эквивалентом K_lF_l/r². Перепишем (17.41) в той форме, в какой мы писали уравнение (17.8):

(17.46)

У потенциальной энергии появилась какая-то таинственная добавка. Хотя она появилась на свет после длинной серии математических шагов, тем не менее у нее простое физическое происхождение. Мы беремся рассказать о ее происхождении при помощи полуклассических аргументов. После этого она уже не покажется вам такой таинственной.

Представим классическую частицу, вращающуюся вокруг некоторого силового центра. Полная энергия сохраняется и является суммой потенциальной и кинетической энергий

В общем случае v разлагается на радиальную компоненту v_r и на касательную компоненту r^.?, т. е.

Момент количества движения mr^2.? тоже сохраняется; пусть он равняется L. Тогда можно написать

т. е. энергия равна

Если бы момента количества движения не было, у нас осталось бы только два первых члена. Добавление момента количества движения L изменяет энергию как раз так, как если бы к потенциальной энергии добавился член L²/2mr². Но он почти точно совпадает с добавкой (17.46). Единственная разница в том, что вместо ожидаемого числителя l²?² (этого можно было бы ожидать) появляется комбинация l(l+1)?² Но мы еще раньше видели [например, в гл. 34, § 7 (вып. 7)], что это обычная замена, к которой всегда приходится прибегать, если хотят, чтобы квазиклассические рассуждения совпали с правильным квантовомеханическим расчетом. Поэтому новый член можно понимать как своего рода «потенциал», определяющий «центробежную силу» и возникающий в уравнениях радиального движения вращающейся системы [см. гл. 12, § 5 (вып. 1)].

Теперь мы уже можем решить уравнение (17.46) относительно F_l(r). Оно очень похоже на (17.8), так что прибегнем к той же технике. Все повторяется вплоть до уравнения (17.19), в котором появится добавочный член

(17.47)

Его можно записать еще и так:

(17.48)

(Мы выделили первый член, а затем текущий индекс k сдвинули на единицу.) Вместо (17.20) появится

(17.49)

Поскольку член с ?^-1 только один, то он должен обратиться в нуль. Коэффициент a₁ должен быть равен нулю (если только l не равно нулю, но тогда мы приходим к нашему прежнему решению). А когда все квадратные скобки при любых k обратятся в нуль, то и все следующие члены станут равны нулю. Из-за этого условие (17.21) переходит в

(17.50)

Это единственное существенное видоизменение по сравнению со сферически симметричным случаем.

Как и раньше, ряд должен оборваться, если мы хотим, чтобы решения представляли связанные электроны. Если ?n=1, то ряд оборвется на k=n. Условие на ? получается таким же: ? должно быть равно 1/n, где n — целое число. Однако (17.50) приводит и к новому ограничению. Индекс k не может быть равен l, в противном случае знаменатель обратится в нуль, а а_l+1 — в бесконечность. Иначе говоря, поскольку a₁=0, то (17.50) подразумевает, что все последовательные a_k обращаются в нуль, пока мы не придем к а_l+1, которое может быть и не нулем. Это означает, что k должно начинаться с l+1 и кончаться на n.

Окончательный итог таков: при любом l имеется набор возможных решений, которые мы обозначим F_n,l, где n>l+1. Каждое решение обладает энергией

(17.51)

Волновая функция состояния с такой энергией и с угловыми квантовыми числами l и m имеет вид

(17.52)

где

(17.53)

Коэффициенты a_k получаются из (17.50). Наконец-то в наших руках полное описание состояний атома водорода.