Развертка колебаний

Прикрепим к нижней части грузика маятника мягкий грифелек и подвесим маятник над листом бумаги так, чтобы грифель касался бумаги (рис. 43). Теперь слегка отклоним маятник. Качающийся грифелек прочертит на бумаге небольшой отрезок прямой линии. В середине качания, когда маятник проходит положение равновесия, карандашная линия будет пожирнее, так как в этом положении грифелек сильнее нажимает на бумагу. Если потянуть лист бумаги в направлении, перпендикулярном к плоскости колебания, то прочертится кривая, изображенная на рис. 43. Нетрудно сообразить, что получившиеся волночки будут расположены густо, если бумагу тянуть медленно, и редко, если лист бумаги движется со значительной скоростью. Чтобы кривая получилась аккуратной, как на рисунке, нужно, чтобы лист бумаги двигался строго равномерно.

Этим способом мы как бы «развернули» колебания.

Развертывание нужно для того, чтобы сказать, где находился и куда двигался грузик маятника в тот или иной момент времени. Представьте себе, что бумага движется со скоростью 1 см/с с момента, когда маятник находился в крайнем положении, например слева, от средней точки. На нашем графике это начальное положение соответствует точке, помеченной цифрой 1. Через 1/4 периода маятник будет проходить через среднюю точку. За это время бумага продвинется на число сантиметров, равное (1/4)T – точка 2 на рисунке. Теперь маятник движется вправо, одновременно ползет и бумага. Когда маятник придет в правое крайнее положение, бумага продвинется на число сантиметров, равное (1/2)T, – точка 3 на рисунке. Маятник вновь идет к средней точке и попадает через (3/4)T в положение равновесия – точка 4 на чертеже. Точка 5 завершает полное колебание, и дальше явление повторяется через каждые T секунд или через каждые T сантиметров на графике.

Таким образом, вертикальная линия на графике – это шкала смещений точки от положения равновесия, горизонтальная средняя линия – это шкала времени.

Из такого графика легко находятся две величины, исчерпывающим образом характеризующие колебание. Период определяется как расстояние между двумя равнозначными точками, например между двумя ближайшими вершинами. Также сразу измеряется наибольшее смещение точки от положения равновесия. Это смещение называется амплитудой колебания.

Развертка колебания позволяет нам, кроме того, ответить на поставленный выше вопрос: где находится колеблющаяся точка в тот или иной момент времени. Например, где будет колеблющаяся точка через 11 с, если период колебания равен 3 с, а движение началось в крайнем положении слева? Через каждые 3 с колебание начинается с той же точки. Значит, через 9 с тело также будет в крайнем левом положении.

Нет нужды поэтому в графике, на котором кривая протянута на несколько периодов, – вполне достаточен чертеж, на котором изображена кривая, соответствующая одному колебанию. Состояние колеблющейся точки через 11 с при периоде 3 с будет такое же, как и через 2 с. Отложив на чертеже 2 см (мы ведь условились, что скорость протягивания бумаги равна 1 см/с, иными словами, что масштаб чертежа – 1 см равен 1 с), мы увидим, что через 11 с точка находится на пути из крайнего правого положения в положение равновесия. Величину смещения в этот момент находим из рисунка.

Для нахождения величины смещения точки, совершающей малые колебания около положения равновесия, не обязательно прибегать к графику. Теория показывает, что в этом случае кривая зависимости смещения от времени представляет собой синусоиду. Если смещение точки обозначить через y, амплитуду через a, период колебания через T, то значение смещения через время t после начала колебания найдем по формуле

Колебание, происходящее по такому закону, называется гармоническим. Аргумент синуса равен произведению 2? на t/T. Величина 2?(t/T) называется фазой.

Имея под руками тригонометрические таблицы и зная период и амплитуду, легко вычислить величину смещения точки и по значению фазы сообразить, в какую сторону точка движется.

Нетрудно вывести формулу колебательного движения, рассматривая движение тени, отбрасываемой на стенку грузиком, движущимся по окружности.

Смещения тени мы будем откладывать от среднего положения. В крайних положениях смещение y равняется радиусу круга a. Это амплитуда колебания тени.

Если от среднего положения грузик прошел по окружности угол ?, то его тень (рис. 44) отойдет от средней точки на величину a sin ?.

Пусть период движения грузика (являющийся, конечно, и периодом колебания тени) есть T; это значит, что 2? радиан грузик проходит за время T. Можно составить пропорцию ?/t = 2?/T, где t – время поворота на угол ?.

Таким образом, ? = 2?t/T и y = a sin 2?t/T. Это мы и хотели доказать.

Скорость колеблющейся точки также меняется по закону синуса. К такому заключению нас приведет то же рассуждение о движении тени грузика, описывающего окружность. Скорость этого грузика есть вектор неизменной длины v₀. Вектор скорости вращается вместе с грузиком. Представим мысленно вектор скорости как материальную стрелку, способную отбрасывать тень. В крайних положениях грузика вектор расположится вдоль луча света и тени не даст. Когда грузик от крайнего положения пройдет по окружности угол ?, то вектор скорости повернется на тот же угол и его проекция будет равна v₀sin ?. Но по тем же основаниям, что и раньше, ?/t = 2?/T, а значит, мгновенное значение скорости колеблющегося тела

Обратим внимание на то, что в формуле для определения величины смещения отсчет времени ведется от среднего положения, а в формуле скорости – от крайнего положения. Смещение маятника равно нулю при среднем положении грузика, а скорость колебания – при крайнем положении.

Между амплитудой скорости колебания v₀ (иногда говорят – амплитудным значением скорости) и амплитудой смещения имеется простая связь: окружность длиной 2?a грузик описывает за время, равное периоду колебания T.

Таким образом, v₀ = 2?a/T и v = (2?a/T)sin(2?/T)t.