Взвешивание Земли

Взвешивание Земли

Прежде чем начать пользоваться законом всемирного тяготения, нам надо обратить внимание на одну важную деталь.

Мы только что высчитывали силу притяжения между двумя грузами, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. А если бы эти тела находились на расстоянии 1 см? Что же подставлять в формулу – расстояние между поверхностями тел или расстояние между центрами тяжести или что-нибудь третье?

Закон всемирного тяготения F = ?(m₁m₂/r²) можно со всей строгостью применять тогда, когда подобных сомнений не возникает. Расстояние между телами должно быть много больше размеров тел; мы должны иметь право рассматривать тела как точки. Как же применить закон к двум близким телам? В принципе просто: надо мысленно разбить тела на маленькие кусочки, для каждой пары подсчитать силу F, а затем сложить (векторно) все силы.

В принципе это просто, но практически довольно сложно.

Однако природа помогла нам. Расчет показывает: если частицы тела взаимодействуют с силой, пропорциональной 1/r², то шарообразные тела обладают свойством притягиваться как точки, расположенные в центрах шаров. Для двух близких шаров формула F = ?(m₁m₂/r²) точно справедлива, как и для далеких, если r – расстояние между центрами шаров. Мы уже использовали это правило раньше, вычисляя ускорение на поверхности Земли.

Теперь мы имеем право применять формулу тяготения для вычисления силы притяжения тела Землей. Под r мы должны понимать расстояние от центра Земли до тела.

Пусть M – масса и R – радиус Земли. Тогда сила притяжения тела массы m у земной поверхности

Но ведь это же вес тела, который мы всегда выражаем как mg. Значит, ускорение силы тяжести

g = ?·m/r²

Теперь-то мы можем сказать, как взвесили Землю. g, ? и R – известные величины, массу Земли можно вычислить из этой формулы. Таким же способом можно взвесить и Солнце.

Но разве можно назвать такое вычисление взвешиванием? Конечно, можно; косвенные измерения играют в физике не меньшую роль, чем прямые.

Решим теперь любопытную задачу.

В планах создания всемирного телевидения существенную роль играет создание «висящего» спутника, т.е. такого, который все время находился бы в одной и той же точке плоскости экватора над земной поверхностью. Будет ли такой спутник испытывать трение? Это зависит от того, насколько далеко от Земли ему придется совершать свое вращение.

«Висящий» спутник должен вращаться с периодом T, равным 24 часам. Если r есть расстояние спутника от центра Земли, то его скорость v = 2?r/T и его ускорение v²/r = (4?²/T²)r. C другой стороны, это ускорение, источником которого является земное притяжение, равно ?(M/r²) = g (R²/r²).

Приравнивая величины ускорений, получим:

Подставляя округленные значения g = 10 м/с², R = 6·10⁶ м и T = 9·10⁴ с, получим: r² = 7·10²², т.е. r ? 4·10⁷ м = 40 000 км. На такой высоте атмосферного трения нет, и «висящий» спутник, если его удастся создать, не будет замедлять своего «неподвижного бега».