6.98. Свет, прошедший через бокал с вином, окно и каплю воды

Посмотрим на стол, на который падает солнечный свет, прошедший через бокал с белым вином. Стол освещен неоднородно. На нем можно увидеть одну или несколько ярких линий, так называемые каустики. Искривленные стенки бокала перенаправляют световые лучи, что и приводит к образованию таких линий. Отражение света от окон тоже приводит к образованию похожих узоров на окружающих их предметах. Однако, вероятно, чаще всего каустику можно увидеть внутри керамической чашки или пластикового стакана с кофе (но стакан должен быть не из вспененного полистирола). Здесь каустика представляет собой две пересекающиеся яркие искривленные линии (рис. 6.35a).

Рис. 6.35 / Задача 6.98. Узоры света, образованные: а) чашкой кофе в лучах солнца, б) маленькой каплей воды возле вашего глаза и в) большой каплей воды.

Большое количество разнообразных каустик получается при прохождении луча лазера через гофрированный или рифленый кусок пластика наподобие тех, которые используют в качестве абажуров для офисных люминесцентных ламп. Двигая кусок пластика под музыку, можно даже устроить миниатюрное лазерное шоу. Можно использовать и гладкий кусок пластика, если на него накапать прозрачный клей. Двигающиеся каустики также возникают на дне плавательного бассейна, когда солнце освещает рябь на поверхности воды, и вообще на мелководье.

Самые необычные каустики можно увидеть, посмотрев ночью через каплю воды на уличный фонарь. Если вы носите очки, это может быть капля на стеклах очков или на оконном стекле, но тогда подойдите к окну поближе и встаньте так, чтобы ваши глаза были совсем рядом с ней. Если капля маленькая, будет видно пятно, ограниченное яркими пересекающимися вогнутыми кривыми с выступающими остриями (рис. 6.35б). Если капля побольше и подрагивает на стекле, снизу картина будет почти такой же, как в случае маленькой капли, но сверху пятно ограничено яркой выгнутой наружу кривой (рис. 6.35в). Прямо под ней видны звездочки. Их можно заставить «танцевать», осторожно пошевелив каплю. Если удастся повернуть каплю относительно линии прямой видимости фонаря, острый выступ, который сначала был снизу пятна, сожмется, а затем сместится внутрь его и превратится в звездочку.

Почему при столь разных условиях образуются подобные картины? Можно ли выделить в них основные элементы?

ОТВЕТ • Двумя основными элементами каустик являются складки (изогнутые линии) и острия (пересечения двух складок). Мы обсуждаем пример из оптики, но складки и острия — основные элементы более общей математической теории, которая называется теорией катастроф. Они появляются из-за того, что при отражении или преломлении на поверхностях (поверхности бокала с вином, волнующейся воды и т. д.) световые лучи собираются в пучок. Свет, концентрируясь, образует яркие линии. Точнее: из-за концентрации света в воздухе образуется трехмерная поверхность, на которой резко возрастает интенсивность света. Если поместить в это место в пространстве рассеивающую поверхность — экран, то мы увидим линию — двумерное сечение этой поверхности.

Трехмерные поверхности бывают трех видов, у каждой из них есть сингулярность (особенность). Каустика в сечении, проходящем через сингулярность, наиболее компактна. Когда сечение не проходит через сингулярность, говорят, что структура не разворачивается.

Солнечный свет, отражаясь от окна здания на стену, может давать изображение, в общем виде повторяющее форму окна, но с искривленными краями, которые представляют собой складки каустики. Складки могут быть вогнутыми и выгнутыми в зависимости от того, вогнуто ли стекло внутрь или выгнуто наружу. Когда окно выгнуто наружу, отражение представляет собой овал; когда окно вогнуто, появляется яркий крест. Окно с двойными стеклами, одно из которых вогнуто, а другое выгнуто, может привести к появлению отражений обоих типов.