1.140. Падение через центр земли

Представьте себе дыру в Земле, идущую вдоль земной оси от одного полюса к другому. Случись вам упасть в эту дыру, сколько времени потребовалось бы, чтобы долететь до противоположного полюса, и что произошло бы с вами, если бы вы не смогли из нее выбраться? А что изменится, если пробуравить Землю насквозь в любом другом месте?

Выдвигалась идея укороченной версии похожего тоннеля для транспортировки грузов между городами с плотным движением — например, между Нью-Йорком и Вашингтоном. По проекту нужно было выкопать прямой тоннель между двумя городами и по нему проложить пути. Поезду, выехавшему из одного города, почти не требовалось бы энергии, чтобы доехать до другого. За счет чего поезд двигался бы по тоннелю и сколько времени заняло бы это путешествие?[21]

В раннем научно-фантастическом романе Джорджа Гриффита «От полюса к полюсу» описывается, как трое друзей отправляются в путешествие через толщу Земли по образованному естественным путем тоннелю (конечно, выдуманному), который соединяет Северный полюс с Южным. Они стартуют с Южного полюса в капсуле, к которой привязаны шары с гелием и водородом для торможения. Сначала капсула падает к центру Земли, и по мере приближения к нему сила тяжести становится, по мнению Гриффита, пугающе большой, а в центре на мгновение исчезает.

Последующий их подъем к Северному полюсу происходит медленнее, чем они ожидали, и шары здесь используются для создания подъемной силы. Среди этих троих есть ученый, и по его расчетам капсула сможет подняться лишь на определенную высоту, а потом она затормозится и остановится, а пассажиры окажутся в ловушке. Герои выбрасывают тяжелые механизмы, но этого недостаточно, чтобы облегчить капсулу. В отчаянии ученый выбирается из капсулы через люк в ее дне, некоторое время висит на руках, а потом срывается вниз. Такая потеря массы оказывается достаточной, чтобы капсула долетела до верха тоннеля, где остальные два пассажира успевают благополучно выскочить наружу. (Ученые часто готовы жертвовать собой ради счастья других!) Насколько правдоподобна эта история?

ОТВЕТ • Представим, что вы упали в вертикальный тоннель, соединяющий два полюса. Остановим ваш полет на мгновение в момент, когда вы находитесь на определенном расстоянии от центра Земли. Вообразим себе сферу с этим радиусом и с центром в центре Земли. Масса внутри этой сферы притягивает вас, а масса вне этой сферы — нет, поскольку сила притяжения от любого участка этой внешней части, направленная наружу с вашей стороны Земли, уравновешивается силой притяжения симметричного участка на противоположной стороне Земли, направленной внутрь.

Продолжим полет. По мере того как вы приближаетесь к центру, радиус и, соответственно, объем внутренней сферы и содержащаяся в ней масса уменьшаются, уменьшается и сила притяжения со стороны этой сферы. В момент, когда вы пролетите центр Земли, сила притяжения будет равна нулю, а подъем по второй половине тоннеля будет зеркальным отображением спуска. Предположим, условия полета идеальны: нет сопротивления воздуха, пролетаемые при падении и подъеме пути равны, вы чудесным образом выжили в смертоносных условиях раскаленного ядра Земли. Тогда в конце концов вы достигнете противоположного выхода из тоннеля.

Вы проведете в этом путешествии 42 минуты. (Здесь мы предположили, что плотность Земли везде одинакова. Если ядро имеет большую плотность, чем остальная масса Земли, это время несколько уменьшится.) Если вы не успеете вовремя выскочить из своей капсулы, она утащит вас обратно, и вы до бесконечности будете болтаться в тоннеле между полюсами.

Если тоннель прорыт не по оси Земли, то, чтобы не врезаться в его стенки, тоннель нужно искривить. Проблема в том, что вы начинаете падать, имея ненулевую скорость вращения, равную скорости Земли в точке входа в тоннель. Когда вы падаете к центру, вы пролетаете области, где скорость вращения меньше, поэтому в неискривленном тоннеле вы неминуемо врежетесь в стенку.

В воображаемых прямолинейных тоннелях между городами ближе всего к центру Земли находится точка посередине тоннеля. Фактически первую половину пути поезд будет падать, а вторую половину — подниматься. Дополнительная энергия нужна только для того, чтобы преодолеть сопротивление воздуха. Время в пути составит те же 42 минуты, что и путешествие от одного полюса к другому.

Детали этой научно-фантастической истории оставляю вам для разбора.