3.73. «Можно ли услышать форму барабана?»

Статья под таким названием вместе с идеей решения была опубликована в 1966 году математиком Марком Кацем. Этот вопрос можно перефразировать так: реально ли по частотам, которые можно извлечь при игре на барабане с плоской мембраной, определить ее форму? То есть после того, как вы прослушаете барабанную дробь, в которой содержится множество частот, сможете ли по любой из них определить, как мембрана барабана будет выглядеть на фотографии, то есть какие ее части колеблются, а какие — нет?

ОТВЕТ • Для данной струны, натянутой между двумя опорами, вы можете услышать ее форму в том смысле, что определенная частота соответствует определенному типу колебаний струны. Например, наименьшая частота, на которой струна может колебаться, соответствует простейшему типу колебаний, когда концы струны неподвижны (поскольку закреплены), амплитуда колебаний средней точки максимальна, а промежуточные точки колеблются с промежуточной амплитудой (рис. 3.7а). Следующая более высокая частота соответствует следующей по сложности конфигурации (рис. 3.7б) и так далее. Про такие частоты говорят, что это гармонические частоты струны, а соответствующие колебания струны называют резонансными модами. Если вы услышали какие-нибудь из этих частот, вы можете определить моду, соответствующую любой из них. Более того, если вы уже узнали плотность струны и ее натяжение, по самой низкой частоте вы сможете определить ее длину.

Рис. 3.7 / Задача 3.73. Конфигурации колеблющейся струны. Два мгновенных снимка: а) в случае простейшей конфигурации и б) в следующей по сложности конфигурации.

У плоской мембраны барабана есть похожие резонансные моды и гармонические частоты. Однако эти моды несколько более сложные, поскольку поверхность мембраны двумерная. Моды круглых поверхностей более простые, а вот для других форм мембран барабанов определить соответствие колебательной моды (областей, которые колеблются, и областей, которые не колеблются) форме мембраны довольно сложно. Для большинства простейших форм мембран барабанов это можно сделать. Однако для более сложных форм мы не всегда можем однозначно определить форму мембраны, поскольку по крайней мере при двух абсолютно разных формах мембран может возбуждаться один и тот же спектр гармонических частот. Тем не менее даже в этих сложных случаях мы можем определить площадь мембраны барабана и, следовательно, сможем услышать площадь мембраны барабана, даже если не всегда сможем услышать ее форму.