1.66. Наклонная башня

Поставим друг на друга на край стола книги, костяшки домино, карты, монетки или другие одинаковые плоские предметы так, чтобы стопка свисала с края стола. Как нужно расположить эти предметы, чтобы при заданном их количестве длина навеса (расстояния по горизонтали от края стола до края самой выступающей части стопки) была максимальной? Предположим, что вы укладываете костяшки домино длиной L. Сколько нужно костяшек, чтобы навес был равен L? А 3L?

У вас есть комплект из 28 костяшек домино. Постройте арку между двумя столами одинаковой высоты. Что нужно сделать, чтобы арка была максимально длинной?

Кубики «лего» — это игрушечные пластмассовые параллелепипеды. На одной из широких сторон детали сделано четыре углубления, а на противоположной стороне находятся четыре небольших штырька. Одну деталь можно соединить с другой так, чтобы четыре штырька первой вошли в соответствующие отверстия второй, а можно и так, чтобы верхняя деталь была сдвинута на половину длины, то есть только два ее штырька вошли в два отверстия нижнего. Пусть x — половина длины грани детали, а n — количество деталей. Сколько различных типов устойчивых (не падающих без поддержки) башен можно собрать из этого количества деталей?

Рассмотрим башню, в которой каждая деталь, за исключением самой нижней, установлена либо прямо над предыдущей, либо сдвинута вправо относительно предыдущей. Какое минимальное количество деталей нужно взять, чтобы навес всей стопки был равен, скажем, 4x? Есть ли более рациональный способ укладывания в стопку при том же самом навесе?

ОТВЕТ • Стопка находится в равновесии, если вертикальная линия, проведенная через ее центр масс, не выходит за границы стола. Таким образом, чтобы добиться наибольшего навеса, нужно, чтобы эта вертикаль проходила через самый край стола. Один из способов получить большой навес основан на гармонических рядах (рис. 1.22а). Допустим, мы строим башню из костяшек домино. Чтобы уравновесить костяшку, нужно положить ее так, чтобы ее центр приходился на край стола, и тогда получим навес, равный L/2. Потом положим на нее следующую костяшку и сделаем так, чтобы общий центр масс двух костяшек приходился на край стола. Навес теперь будет равен (L/2)(1 + 1/2). Потом положим на них третью костяшку и уложим стопку так, чтобы центр масс трех костяшек приходился на край стола. Новый навес будет равен (L/2)(1 + 1/2 + 1/3). Когда башня будут построена из n костяшек домино, навес башни будет равен (L/2)(1 + 1/2 + 1/3 + … +1/n), где выражение в скобках — гармонический ряд. Приведу несколько результатов.

Рис. 1.22 / Задача 1.66. Башни из костяшек домино (а) — (б) и деталей «лего» (в) — (г).

Теоретически в этой последовательности нет предела (навес пропорционален логарифму количества костяшек в башне — его можно сделать любым), есть только предел, задаваемый здравым смыслом.

Более рациональный метод состоит в том, чтобы на выступающие за кромку стола костяшки сверху ставить другие костяшки так, чтобы они служили противовесом. Укладывая в стопку четыре костяшки домино первым способом, можно обеспечить навес чуть больше L (рис. 1.22б), а вторым — с помощью всего 63 костяшек можно получить навес, равный 3L.

Использование метода противовесов помогает и в сооружении арки из 28 костяшек. Если левая и правая части арки уравновешены, пролет может составить 3,97L. Существует по крайней мере один метод строительства арки, при котором обе стороны ее не уравновешены, а пролет равен примерно 4,35L.

Все навесы и арки можно сделать еще длиннее, если укладывать костяшки так, чтобы перпендикулярны к кромке стола были не длинные их стороны, а диагонали.

Из трех деталек «лего» можно построить пять разных типов башен (зеркально-симметричные варианты исключаются), и четыре из них абсолютно устойчивы. Одна башня ограниченно устойчива — легчайший толчок обрушит ее, поскольку центр масс лежит на линии, проходящей через край нижнего кубика. Максимальный навес в ограниченно устойчивой башне равен длине детали, то есть 2х, а для других трех башен — половине длины детали, то есть х. Для наиболее устойчивой — вертикальной — башни (когда детали просто стоят друг на друге) навес равен нулю.

Правила, по которым можно строить наклонную башню, определяют выбор нужной стратегии для получения максимального навеса. Допустим, они таковы, что вы не рассматриваете ограниченно устойчивые башни и должны либо просто ставить одну деталь на другую, либо укладывать ее только со сдвигом вправо. Тогда наиболее экономный метод строительства состоит в том, чтобы все детали, кроме верхних, просто ставить друг на друга — так, чтобы они образовали фундамент для «лестницы», идущей вправо. Например, чтобы получить навес в две длины детали (4х), вам понадобится минимум 11 деталей, из которых четыре верхних укладываются ступеньками (рис. 1.22в). Чтобы получить навес в nx, вам понадобится минимум 0,5n(n + 1) + 1 деталей, из которых n верхних образуют лестницу. (Для постройки ограниченно устойчивой башни можно убрать часть нижних деталей.)

Чтобы построить башню с заданным навесом и при этом использовать меньшее количество деталей, сначала укладывайте их со сдвигом влево, а потом вправо. Например, из 11 деталей можно построить устойчивую башню с навесом в 2,5 длины детали, то есть 5х (рис. 1.22 г).