Плавучесть

Обобщение, рассматривающее давление в жидкостях, которое мы привели в предыдущем абзаце, впервые было использовало и ясно обосновано французским математиком Блезом Паскалем (1623–1662) и поэтому часто упоминается как «принцип Паскаля».

Это обобщение может быть выражено следующим образом: давление жидкости в замкнутом сосуде распространяется одинаково во все стороны, одинаково по всей его граничащей с жидкостью поверхности и направлено под прямым углом к стенкам сосуда.

Этот же принцип можно использовать для объяснения такого известного факта, что, если сосуд с жидкостью содержит два или более отверстий, к которым подсоединены трубки различной формы, по которым жидкость может свободно подниматься, и если в сосуде находится достаточное количество жидкости, то уровень жидкости в трубках будет точно соответствовать уровню жидкости в сосуде, невзирая на разницу в форме[39].

^{Вода «ищет» свой уровень} 

Чтобы объяснить это явление, давайте рассмотрим частный случай сосуда с двумя отверстиями и представим себе, что этот сосуд разделен пополам подвижной вертикальной стенкой, проходящей посередине между этими двумя отверстиями. Давление слева от разделения будет зависеть от высоты жидкости слева, в то время как давление справа будет зависеть от высоты жидкости справа. Если столб жидкости слева выше, то давление жидкости на левой стороне больше, чем таковое на правой стороне, соответственно имеется разность давлений слева направо. Жидкость вынуждена смещать разделение в этом направлении так, чтобы высота столба жидкости на левой стороне уменьшилась, а справа — увеличилась. Когда высоты обоих столбов жидкости сравняются, то разность давлений исчезает и стенка перестает перемещаться.

Этот эффект издавна известен в народе, что подтверждает пословица: «Каждая вода ищет свой уровень».

Прошу вас обратить внимание на тот факт, что я считаю само собой разумеющимся, что жидкости будут двигаться, или течь, в ответ на воздействие некоей внешней силы. Законы движения применяются к жидкостям так же, как к твердым телам, и изучение механики, в его широком смысле, включает в себя изучение сил и движений не только в твердых телах, но и в жидкостях. Однако общим правилом является ограничение использования термина «механика» только твердыми телами. Механике жидкостей посвящена специальная область науки, называемая «гидродинамика» (от греческих слов, означающих «движение воды»), а механике газов — своя область, называется «пневматика» (от греческого слова, означающего «воздух»). Иногда эти две области науки группируют вместе под общим названием «гидроаэромеханика».

Не только собственно вес жидкости может быть преобразован в давление всех ее частей, но и всякая другая внешняя сила.

Например, предположим, что жидкость полностью заполняет сосуд с двумя отводами, каждый из которых закупорен подвижным поршнем; для простоты будем считать поршни невесомыми. Предположим, кроме того, что отводы имеют различную ширину, так что поршень в большем отводе имеет площадь поперечного сечения, равную 10 см², в то время как поршень в меньшем отводе имеет площадь поперечного сечения, равную всего лишь 1см².

Теперь представьте себе, что к меньшему поршню приложена сила, равная одной дине. Так как площадь поверхности меньшего поршня равна 1 см², то давление на него, полученное в результате приложения этой силы, равно 1 дин/см². В соответствии с принципом Паскаля это давление передается через все тело жидкости неизменным и направлено перпендикулярно ко всем стенкам. В частности, данное давление перпендикулярно той части стенок, которая представляет собой больший поршень. И поскольку поршень меньшего размера перемещается вниз, то поршень большего размера будет перемещаться вверх.

Восходящее давление против большего поршня должно быть тем же самым, что и нисходящее давление против меньшего поршня, то есть 1 дин/см². Однако площадь поверхности большего поршня равна 10 см². Поэтому полная сила, которая действует на больший поршень, равна 1 дин/см², умноженной на 10 см², или 10 дин. Полная сила была умножена в десять раз, и соответственно вес, который могла поднять первоначальная сила, также будет увеличен в десять раз. Приспособление, которое называется «гидравлическим прессом», основано на этом эффекте, означающем, что тяжелые грузы могут быть подняты при помощи разумного количества силы.

Что же, мы опять получаем нечто из ничего? Нисколько! Предположим, что мы нажимаем на маленький поршень (площадью 1 см²) и заставляем его переместиться на расстояние в 1 см.

^{Гидравлический пресс} 

Объем жидкости, которую это заставило переместиться, равен 1 см², умноженному на 1 см, то есть одному кубическому сантиметру (1 см³). Больший поршень (площадью 10 см²) может переместиться вверх лишь на расстояние, достаточное для того, чтобы вместить этот перемещенный 1 см³ жидкости. Требуемое расстояние равно 1 см³ поделить на 10 см² или 0,1 см. Таким образом, создалась такая же ситуация, как в случае рычага. Да, полученная сила стала десятикратно увеличенной, но расстояние, на котором действует эта сила, уменьшилось в десять раз. Полная работа (сила, умноженная на расстояние), полученная на выходе гидравлического пресса, остается такой же (если мы пренебрегаем такими вещами, как трение), как полная работа на его входе.

Давление жидкости передается не только стенкам сосуда, но также и (перпендикулярно) поверхностям любого твердого объекта, находящегося в пределах жидкости. Представьте себе железный куб, опущенный в жидкость таким образом, что верхняя поверхность и основание куба совершенно горизонтальны, а другие четыре поверхности — совершенно вертикальны. Давление на каждую из четырех вертикальных поверхностей зависит от высоты жидкости над ними, а она является одинаковой для всех. Таким образом, для вертикальных поверхностей мы имеем равные давления, направленные попарно и противоположно. Следовательно, в любом из направлений не существует никакого суммарного поперечного давления.

Но что, если мы рассмотрим две горизонтальные поверхности — верхнюю и основание? Ясно, что для нижней поверхности высота жидкости больше, а для верхней поверхности — меньше. Поэтому возникает сравнительно большое восходящее давление, приложенное к нижней поверхности, а ему противостоит сравнительно небольшое нисходящее давление, приложенное к верхней поверхности. В результате на тело, погруженное в жидкость, начинает действовать результирующая сила, направленная вверх. (Это наиболее легко проследить в случае твердого куба, но можно показать, что такое утверждение справедливо для твердого тела любой формы или, если это имеет значение, для погруженной капли жидкости или пузырька газа.) Эта выталкивающая вверх сила, с которой жидкость действует на погруженные в нее объекты, называется «плавучесть».

Насколько же велика эта выталкивающая сила? Рассмотрите твердое тело, погруженное в жидкость, содержащуюся в контейнере. Твердое тело должно создать место для того, чтобы разместить собственный объем, раздвигая или перемещая эквивалентный объем жидкости; уровень жидкости в контейнере соответственно повышается, чтобы разместить этот перемещенный объем.

Из рассмотренного следует, что твердое тело при погружении прикладывает к жидкости направленную вниз силу, достаточно большую, чтобы сбалансировать вес собственного объема твердого тела жидкостью. В соответствии с третьим законом Ньютона ожидается, что жидкость, в свою очередь, приложит к твердому телу эквивалентную выталкивающую силу, равную весу все того же количества жидкости.

Первоначальный вес погруженного тела равен его объему (V), умноженному на его плотность (D). Вес вытесненной жидкости равен ее объему (который является равным объему погруженного твердого тела и, следовательно, также равен V), умноженному на ее плотность (d). Вес тела после погружения (W) равен его первоначальному весу минус вес вытесненной воды:

W = VD – Vd. (Уравнение 9.2)

Решая данное уравнение для D (плотность погруженного твердого тела), мы имеем:

D = (W + Vd)/V. (Уравнение 9.3)

Вес погруженного тела (W) может быть непосредственно измерен, объем вытесненной жидкости (V) — получен сразу после измерения повышения уровня жидкости и площади поперечного сечения сосуда, а плотность жидкости (d) также может быть легко измерена. Имея эти данные, мы легко можем рассчитать из уравнения 9.3 плотность погруженного тела.

Этот метод измерения плотности был открыт в III столетии до н.э. великим греческим математиком Архимедом. История гласит, что царь Гиерон из Сиракуз, получив золотую корону от ювелира, заподозрил того в нечестности. Царь чувствовал (а точнее, ему донесли), что ювелир сплавил золото с более дешевым серебром и присвоил себе разницу. Царь дал указание Архимеду определить: так ли оно было сделано. Естественно, корону повреждать было нельзя.

Архимед знал, что плотность короны, сделанной из серебряного сплава, будет меньше, чем золотой, но он не мог найти способ измерить плотность короны. Для определения плотности ему было необходимо знать как вес, так и объем короны. Однако если вес короны он мог узнать легко, то как узнать объем короны, не придавая ей формы куба, сферы или другой формы, для которой геометрией того времени была разработана методика расчета объема, он не знал. Кроме того, Гиерон не одобрил бы такое «изменение формы» со всеми вытекающими из этого факта последствиями.

^{Плавучесть} 

Как гласит легенда, принцип плавучести пришел в голову Архимеду, когда он лег отдохнуть в полную ванну и увидел вытесненную из нее на пол воду. История донесла до нас зрелище голого, бегущего по улицам Сиракуз Архимеда. Он бежал, крича: «Эврика! Эврика!» («Я нашел! Я нашел!») Погрузив в воду корону и измерив повышение уровня воды, а также зная ее вес, и сделав то же самое с куском чистого золота равного веса, он сразу смог сообщить, что плотность материала, из которого была сделана корона, значительно меньше, чем у золота; соответственно ювелир был наказан. А основные принципы плавучести с тех пор называются «законы Архимеда».

Погруженное тело имеет большую плотность, чем плотность жидкости, в которую оно погружено, то есть D больше, чем d, и VD, естественно, больше, чем Vd. Из уравнения 9.2 мы видим, что в этом случае вес (W) погруженного тела должен быть положительным числом. Вес тела уменьшается, но все же он еще больше, чем нуль, и тело тонет в жидкости. (Подобным образом, твердый — железный или алюминиевый — предмет тонет в воде.)

Однако если погруженное тело имеет меньшую плотность, чем плотность жидкости, в которую оно погружается, то есть D меньше, чем d, VD меньше, чем Vd, то погруженное тело имеет вес, который выражается отрицательным числом. С отрицательным весом тело в ответ на поле тяготения скорее перемещается вверх. (Таким образом, деревянная палочка или пузырек воздуха, погруженные в воду, будут «падать вверх», как только мы перестанем их удерживать под водой и позволим им свободно двигаться.)

^{Плавание} 

Тело, обладающее меньшей плотностью, чем окружающая его жидкость, будет плавать, частично погруженное, на поверхности этой жидкости; в этом состоянии вес воды, которую это тело вытеснило, равен его собственному первоначальному весу; в таком случае его вес в воде равен нулю и оно не всплывает и не тонет. Твердое тело плавает, когда оно вытеснило такое количество воды (меньшее, чем его собственный объем), чтобы оно равнялось его собственному первоначальному весу.

Однако, несмотря на то что стальное судно плавает, это не означает, что плотность стали меньше, чем плотность воды. Ведь не сталь в одиночку вытесняет воду. Внутри судна находится воздушная полость, то есть по мере погружения в воду находящийся там воздух вытесняет воду так, как это делает стальной корпус. Суммарная плотность же сплава «сталь плюс вложенный воздух» является меньшей, чем плотность воды, хотя плотность стали в одиночку конечно же нет; вот поэтому стальные суда и плавают.

Сила плавучести, между прочим, это не только вопрос вычислений и теории; ее можно легко почувствовать. Поднимите тяжелый камень из воды, и вы почувствуете, как он внезапно увеличился в весе, едва попав на воздух. Опустите в воду большой кусок древесины и попробуйте его утопить; вы увидите, что дерево как бы «сопротивляется» вашим попыткам, — это сила плавучести выталкивает дерево из воды, и вы можете почувствовать ее «своими руками».