Масса

Первый закон Ньютона объясняет концепцию силы, но, чтобы позволить нам измерить величину силы, необходимо еще что-то. Если мы определяем силу как то, что порождает ускорение, казалось бы логичным измерить размер силы размером ускорения, которое ее вызывает. Это имеет смысл, когда мы ограничиваем себя рассмотрением одного специфического тела, например баскетбольного мяча. Если мы толкаем баскетбольный мяч по земле с постоянной силой, он перемещается все быстрее и после десяти секунд такого перемещения развивает скорость, например, 2 м/с. Его ускорение — 2 м/с поделить на 10 секунд — 0,2 м/с². Но если вы опять начнете с нуля и будете толкать мяч не так сильно, то после десяти секунд баскетбольный мяч будет перемешаться со скоростью только 1 м/с и поэтому подвергнется ускорению, равному только лишь 0,1 м/с². Так как в первом случае ускорение в два раза больше, чем во втором, кажется справедливым предположить, что и сила в первом случае была в два раза больше, чем во втором.

Но если бы вы попробовали применить те же самые силы к твердому пушечному ядру вместо баскетбольного мяча, то обнаружили бы, что пушечное ядро не будет подвержено таким же ускорениям, как указаны выше. Потребуется применить гораздо большую силу для того, чтобы вообще заставить пушечное ядро двигаться.

Опять же, когда баскетбольный мяч катится со скоростью 2 м/с, вы можете достаточно легко его остановить. Изменение скорости с 2 м/с до 0 м/с требует приложения силы, и вы вполне можете создать достаточную силу, чтобы остановить баскетбольный мяч. Или вы можете пнуть баскетбольный мяч во время его движения и таким образом заставить его изменить направление движения. Пушечное же ядро, перемещающееся со скоростью в 2 м/с, однако, может быть остановлено только приложением очень большого усилия, и, если пнуть его во время движения, это изменит его направление весьма незначительно (а вы отобьете ногу).

Пушечное ядро, другими словами, ведет себя так, как если бы оно обладало большим количеством инерции, чем баскетбольный мяч, и поэтому требует соответственно большего количества силы для получения заданного ускорения. Ньютон использовал термин «масса», чтобы указать величину инерции, которой обладает тело. Таким образом, его второй закон движения гласит: «Ускорение, полученное в результате действия какой-либо силы, действующей на тело, — прямо пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела».

Как я уже объяснил, когда x считают прямо пропорциональным к y, это означает, что x = ky. С другой стороны, если мы говорим, что х является обратно пропорциональным к другой величине, например z, то мы подразумеваем, что любое увеличение z приводит к уменьшению х на соответствующую величину, и наоборот. Таким образом, если z увеличена в три раза, х получается равным ¹/₃; если z увеличена в одиннадцать раз, x получается равным ¹/₁₁, и так далее. Математически это понятие обратной пропорции наиболее просто может быть выражено как x ~ 1/z, тогда, когда z равно 3, х равна ¹/₃, когда z удваивается до 6, x в два раза уменьшается и становится равным ¹/₆ и так далее. Мы можем заменить пропорциональность на равенство, умножив какую-либо часть на константу таким образом, чтобы величина x была обратно пропорциональна z, то есть x = ky/z. Но если x является одновременно прямо пропорциональной к y и обратно пропорциональной к z, то это означает, что x = ky/z.

Учитывая это, давайте обозначим ускорение как a, величину силы как f, а массу тела как m. Тогда второй закон движения Ньютона приобретает такой вид:

a = kf/m (Уравнение 3.1)

Давайте теперь рассмотрим единицы, в которых будем измерять каждую из величин, начиная с массы, так как мы пока еще не упоминали ее в этой книге. Вы можете подумать, что, если я говорю, что пушечное ядро более массивно, чем баскетбольный мяч, я подразумеваю, что оно и более тяжелое. На самом деле я так не делаю. «Массивный» — не то же самое, что «тяжелый», и «масса» — не то же самое, что «вес», как я объясню вам чуть позже в этой книге. Однако между этими двумя концепциями имеется некоторое подобие, и их часто путают. В повседневной жизни, по мере того как тела становятся более массивными, они также становятся и более тяжелыми, кроме того, физики тоже внесли свой «элемент беспорядка», используя для измерения массы тела единицы, которые нефизики обычно считают единицами веса.

В метрической системе измерений приняты две основные единицы измерения массы тела — грамм (г) и килограмм (кг). Грамм — мелкая единица измерения массы. Например, кварта молока имеет массу приблизительно 975 граммов. Килограмм, как вы и можете ожидать (от приставки), равен 1000 граммам и, таким образом, представляет собой массу чуть больше, чем кварта молока.

(В обычных единицах массу часто представляют в виде «унций» и «фунтов», эти единицы также используют и для веса. В этой книге, однако, я буду ограничиваться метрической системой, насколько это представится возможным, и буду использовать обычные единицы, например кварты, только тогда, когда они действительно необходимы для ясности.)

При измерении величины силы необходимо рассматривать две величины: ускорение и массу. При использовании метрических единиц ускорение обычно имеет размерность м/с² или см/с², в то время как масса измеряется в г или кг. Традиционно всякий раз, когда расстояние дается в метрах, масса дается в килограммах, то есть в сравнительно больших единицах. С другой стороны, всякий раз, когда расстояние дается в сравнительно мелких единицах — сантиметрах, масса тоже дается в сравнительно мелких единицах — граммах. В любом из указанных случаев единица времени — секунда.

Следовательно, единицы измерения многих физических величин могут быть составлены из сантиметров, граммов и секунд в различных комбинациях или из метров, килограммов и секунд в различных комбинациях. Первый вариант известен как система СГС, второй вариант — как система МКС. Еще полвека назад более часто использовали систему СГС, но теперь более популярной стала система МКС. В этой книге я буду использовать обе системы.

В системе СГС за единицу силы принята такая сила, которая заставляет тело массой 1 г двигаться с ускорением 1 см/с². Поэтому единицы размерности там 1 см/с², умноженный на 1 г. (При умножении двух алгебраических величин a и b мы можем выразить произведение просто как ab. Мы обращаемся с единицами измерения так, как если бы они были алгебраическими величинами, но, поскольку прямое присоединение одних слов к другим выглядит запутывающе, я буду использовать дефис, который, в конце концов, обычно и используется, чтобы присоединить одни слова к другим). Таким образом, единица силы, равная произведению 1 см/с² на 1 г, будет называться 1 г?см/с² (грамм-сантиметр в секунду за секунду. — Пер.). Единица силы, г?см/с², часто используется физиками, но так как звучит она довольно «громоздко», то для этого выражения было придумано более короткое название «дина» (от греческого слова, означающего «сила»).

Теперь давайте решим уравнение 3.1 для k. Получается, что:

k = ma/f (Уравнение 3.2)

Значение k остается одним и тем же для любого совместимого набора значений a, m и f, так что мы также можем брать простые числа. Предположим, что мы присваиваем т значение, равное 1 г, а a — равное 1 см/с². Количество силы, которое соответствует такой массе и ускорению, по нашему определению, 1 г?см/с² (или 1 дина).

Подставив эти значения в уравнение 3.2, мы получаем, что:

k = (1 см/с² ? 1 г)/( 1 г?см/с²) = (1 г?см/с²)/( 1 г?см/с²) = 1 (Уравнение 3.2)

В этом случае, по крайней мере, k — безразмерная величина.

Так как к равна 1, мы можем привести уравнение 3.2 к виду ma/f = 1, откуда мы получаем, что:

f = та (Уравнение 3.3)

при условии, что мы используем надлежащие наборы единиц измерения, то есть если мы измеряем массу в граммах, ускорение — в сантиметрах в секунду за секунду, а силу — в динах.

В системе измерений МКС ускорение измеряется в метрах на секунду в квадрате, а масса в килограммах. Единица силы может быть определена как количество силы, которое производит ускорение, равное 1 м/с², будучи приложенной к телу массой 1 кг. Единицы силы в этой системе поэтому 1 м/с², умноженные на 1 кг, или 1 кг?м/с².[14] Эта единица силы более кратко называется 1 ньютон, и конечно же в честь Исаака Ньютона. Уравнение 3.3 справедливо и для второй комбинации совместимых единиц измерения, когда масса измеряется в кг, ускорение — в м/с², а сила — в ньютонах.

Зная, что килограмм равен 1000 граммам, а метр — 100 сантиметрам, можно получить, что 1 кг?м/с² равен (1000 г)?(100 см)/с², или 100 000 г?см/с². То есть более кратко: 1 ньютон = 100 000 дин.

Перед тем как оставить второй закон движения, давайте рассмотрим случай, когда к телу не приложена никакая суммарная сила. В этом случае мы можем сказать, что f = 0, таким образом, уравнение 3.3 приобретает вид: ma = 0. Но любое материальное тело должно иметь массу больше нуля, то есть единственный вариант, при котором та может равняться 0, это — когда мы имеем a равное 0.

Другими словами, если на тело не действует никакая суммарная сила, то оно не испытывает никакого ускорения и поэтому должно находиться в покое или в состоянии равномерного движения.

Это последнее замечание, однако, представляет собой не что иное, как выражение первого закона движения Ньютона. Из этого следует, что второй закон движения включает в себя первый закон как частный случай. То есть если справедливость второго закона признана, нет никакой необходимости в первом законе. Значение первого закона в значительной степени психологическое. Частный случай f = 0, будучи однажды принятым, освобождает от того, чтобы учитывать основанное на «здравом смысле» аристотелевское понятие того, что естественной тенденцией объектов является стремление к состоянию покоя. Приняв такой частный случай, можно уже рассматривать и более общий.