Маятник

Сам Галилео весьма страдал от неспособности точно измерить короткие интервалы времени. (В некоторых случаях он использовал для замера времени свой пульс, и хотя это было периодическое явление, но, к сожалению, не очень устойчивое.) Однако хотя он непосредственно сам и не извлек выгоды из этого, он был первым, кто обнаружил периодические колебания, которые в конечном счете стали использоваться для измерения времени.

В 1583 году, когда Галилео был юношей и студентом-медиком в Университете Пизы, он однажды пошел в местный собор, чтобы помолиться. Но даже его глубокая вера (а Галилео всегда был очень набожным человеком) не смогла удержать его пытливый ум от наблюдений. Он не мог не заметить колебание паникадила[30] в нефе. Время от времени благодаря капризу ветра оно описывало большую дугу, время от времени — меньшую, но, как показалось Галилео, период колебаний все время был тем же самым независимо от длины дуги. Он прервал свои молитвы и проверил эту догадку, рассчитав колебания при помощи своего пульса.

Вернувшись домой, Галилео продолжил эксперимент, подвесив маленькие «люстры», сделанные из «отвесов» и нитей, к потолку и позволив им раскачиваться с различным периодом колебаний. (Такие подвешенные грузы называются «маятниками» (pendulum — от латинского слова, означающего «висение» или «покачивание».) Галилео смог доказать, что период колебания не зависел от тяжести отвесов, а только от квадратного корня из длины нити. Другими словами, маятник, подвешенный на нити длиной четыре фута, имеет период колебания вдвое больший, чем такой же, но с нитью длиной в один фут.

Теперь рассмотрим маятник. Если отвес висит вертикально на своей нити, он останется неподвижным. Это — его положение равновесия. Если отвес отклонить в сторону, натяжение нити заставит его двигаться по дуге круга так, что он поднимется на более высокий уровень. Если отпустить его, то под воздействием силы тяжести он будет двигаться вниз с увеличивающейся скоростью, назад по дуге круга, к своему самому нижнему положению.

Результирующая сила, которая вызывает это движение, получается в итоге сложения силы тяжести и силы натяжения нити. По мере снижения отвеса нить становится все более и более вертикальной и компенсирует все большую часть силы тяжести. Результирующая сила постоянно уменьшается по мере снижения отвеса, так же как ускорение. Когда отвес попадает в самую нижнюю часть дуги, маятник оказывается подвешенным на совершенно вертикальной линии, и нить полностью компенсирует все гравитационное напряжение. В этой точке не существует никакого неуравновешенного гравитационного напряжения и никакого ускорения. Отвес перемещается с максимальной скоростью.

Из-за инерции отвес проходит через точку равновесия и начинает описывать дугу в другом направлении. Теперь снова имеется результирующая сила, которая замедляет его движение. Чем выше он поднимается, тем больше неуравновешенная сила тяготения и тем быстрее замедляется движение отвеса. В конечном счете его движение замедляется до нуля, и в этот момент отвес достигает точки максимального смещения. Далее начинается обратное движение вниз, через точку равновесия, до максимального смещения с другой стороны и так далее.

Это очень похоже на описание простых гармонических колебаний, за исключением того, что там щипание струны вызывает движение вперед и назад по прямой линии, а смещение маятника вызывает движение вперед и назад по дуге круга. Как нам может показаться — это не является принципиальной и существенной разницей, потому что нам кажется, почему бы не существовать периодическому вращательному движению точно так, как существует периодическое поступательное движение? И действительно — имеется достаточное количество обоих видов этих простых гармонических колебаний.

Маятник

Но действительно ли движение маятника является одним из них? Во всех случаях простых гармонических колебаний типа вибрации струны, скручивающегося и раскручивающегося шнура, движения вверх и вниз натянутой струны и раскручивания и закручивания упругой спирали сила упругости находится в пределах материала, из которого изготовлен предмет, она — производное его эластичности (упругости). В случае маятника сила упругости находится вне системы в форме неуравновешенного гравитационного напряжения. Это может представлять собой принципиальную разницу. Чтобы проверить, качается ли маятник согласно свойствам простых гармонических колебаний, мы должны проверить, действительно ли является сила упругости, компенсирующая силу тяжести, прямо пропорциональной величине смещения, что служит показателем того, что в данном случае действует закон Гука (характеризующий простые гармонические колебания).

Давайте начнем со смещения. Это — длина дуги круга, по которой маятник передвигается, чтобы достигнуть некоторого положения. Длина этой дуги зависит и от длины l струны, и от величины угла (?)[31], на который перемещается маятник. Смещение (D) фактически равно длине струны, умноженной на угол, на который перемещается вес:

D = l?. (Уравнение 8.5)

Теперь рассмотрим силу упругости. Она, конечно, зависит от силы тяжести. Полное значение натяжения нити, вызванное силой тяжести, направленной вниз, соответственно должно быть равно mg, где m — масса отвеса, a g — ускорение свободного падения[32]. Однако отвес не двигается точно вниз, он перемещается по дуге. Это перемещение складывается из воображаемых «скатываний» по наклонной плоскости, которая изменяет свой угол наклона в каждой из точек окружности.

Эта ситуация подобна той, с которой мы столкнулись, когда рассматривали наклонные плоскости. Вообразите отвес маятника в некоторой точке его движения, когда поддерживающая его струна составляет с вертикальной линией угол, равный ?. В этой точке отвес как будто скатывается по наклонной плоскости, составленной по тангенсу к дуге колебания в этой точке. Мы могли бы изобразить такую наклонную плоскость, как часть прямоугольного треугольника. Наклонная плоскость имела бы длину L и высоту H от горизонтальной линии. Угол, который наклонная плоскость создает с горизонтальной линией, как это можно видеть из обычной геометрии, равен углу сдвига, то есть также равен ?.

Как мы узнали, максимальная сила тяготения должна быть умножена на отношение H к L, так что сила упругости (F) будет равна mg(H/L). Отношение H к L представляет собой синус[33] угла ? и обозначается «sin ?». Поэтому мы можем выразить силу упругости как:

F = mg (sin ?). (Уравнение 8.6)

Таким образом, отношение силы упругости к смещению в случае качающегося маятника равно (объединяем уравнения 8.5 и 8.6):

F/d = mg(sin ?)/l?. (Уравнение 8.7)

Теперь возникает вопрос: является ли это отношение константой, поскольку если это так, то качающийся маятник должен рассматриваться как пример простых гармонических колебаний. Масса (m) отвеса и длина струны (l) не изменяются в процессе колебания маятника, значение g также постоянно для любой данной точки поверхности Земли, так что величина mg/l также может рассматриваться в качестве константы. Остается только определить, является ли величина (sin?)/? также константой. Если это так, то задача решена.

Сила упругости нити маятника

К сожалению, данное отношение не является константой. Как мы можем легко определить, синус 30° равен ?, в то время как синус 90° равен 1. Другими словами: в то время как синус угла только удвоился, сам угол стал больше в три раза. Это означает, что (sin?)/? не является константой, что сила упругости нити маятника не является величиной, прямо пропорциональной смешению, и что покачивание маятника не является примером простых гармонических колебаний.

Однако если отношение (sin?)/? и не является константой, то оно почти постоянно для маленьких углов (10° или меньше). Поэтому, если маятник качается вперед и назад по небольшой дуге, это движение практически является примером простых гармонических колебаний.

На практике для маленьких углов (sin?)/? — не просто константа, это отношение равно единице. По этой причине (не забываем, что мы имеем дело с маятниками, качающимися только по маленьким дугам) мы можем устранить выражение (sin?)/? в уравнении 8.7 и написать:

F/D ? mg/l, (Уравнение 8.8)

в котором символ ? означает «приблизительно равно».

(Вы можете задать вопрос: почему же мы желаем воспользоваться приблизительным равенством, ведь наука должна оперировать только точными отношениями? Ответ таков: иногда следует удовлетвориться аппроксимацией (т. е. максимально приближенным значением) — в этом случае мы можем обращаться с маятником как с примером простых гармонических колебаний и производить некоторые другие вычисления, весьма простые, пусть даже и не совсем точные.)

Например, как мы уже определили, период (t) простых гармонических колебаний объекта равен: 2?m/k (другая форма той же записи — см. уравнение 8.4).

Символ к представляет собой отношение силы упругости к смещению, для которого в случае маятника мы нашли значение в уравнении 8.8; там оно установлено приблизительно равным mg/l При объединении уравнений 8.4 и 8.8 (и при сохранении символа приблизительного равенства) мы можем заявить, что период умеренно качающегося маятника равен:

Как вы видите, период умеренно качающегося маятника не зависит от массы отвеса, а зависит (по крайней мере, в весьма хорошем приближении) от квадратного корня из длины струны, что, собственно, в далеком XVI столетии и определил Галилео экспериментальным путем.

Присутствие в уравнении величины g — ускорения, вызванного силой тяжести, — имеет очень важное значение. Если преобразовать уравнение 8.9 так, чтобы выразить значение g, то мы получим:

g ? 4?2/t2? (Уравнение 8.10)

Это дает нам гораздо более легкий метод для измерения g, чем непосредственное измерение скорости свободного падения. Длина маятника определяется легко, и его период — также. Использование маятников во времена Ньютона показало, что изменение g в зависимости от широты местности, где производятся измерения, и добавило еще одно экспериментальное подтверждение к предположению Ньютона, что Земля имеет форму сплющенного сфероида.

Так как период умеренно качающегося маятника практически является константой, это его свойство может использоваться для измерения времени. Если маятник связан с зубчатыми колесами таким способом, что с каждым колебанием маятника колесо продвигается вперед только на один зубец, это движение тогда легко может быть преобразовано таким образом, чтобы подвинуть один указатель по кругу, составляющему точно один час (минутная стрелка), а другой указатель вокруг того же круга, но за двенадцать часов (часовая стрелка). Добавив в систему веса (гири), мы можем компенсировать затухание колебаний маятника, которое вызвано трением и сопротивлением воздуха.

Будучи уже в преклонном возрасте, Галилео имел возможность увидеть практическое применение этого его открытия, сделанного в далекой юности. Оно было осуществлено голландским ученым Христианом Гюйгенсом (1629–1695) в 1673 году. Гюйгенс не стал даже учитывать несовершенство маятника. Он показал, что физический маятник — это не математический маятник и имеет отвес некоторого конечного объема, подвешенный на струне или прутке, имеющем некую конечную массу. Он также показал, что если маятник качается по кривой, которая не является дугой окружности, а двигается по траектории гораздо более сложной кривой, называемой «циклоидой», то тогда его период будет константой. Кроме того, он показал, как можно сделать маятник, который качался бы по такой циклоидальной дуге.

С того времени использовались многие изобретательные методы, предназначенные для того, чтобы принять во внимание тот факт, что длина маятника (и поэтому его период) слегка изменяется также в зависимости от температуры окружающей среды.

Другие представители простых гармонических колебаний могут использоваться для измерения времени. Гук (тот, что открыл закон Гука) изобрел «волосок» — тонкую спиральную пружину, которая может применяться для того, чтобы развертываться и свертываться, совершая простые гармонические колебания. Работа тонкой пружины поддерживается при помощи разматывания большой «главной пружины», которую периодически подтягивают при помощи механического привода — «заводят». Такие волосковые пружины используются в наручных часах, где нет места для маятника и в которых (даже если бы место существовало) движения руки немедленно приведут маятник в беспорядочное движение[34].

В последние годы (конец XX века. — Пер.) для измерения времени используются колебания атомов, которые перемещаются внутри молекул в соответствии все с теми же законами простых гармонических колебаний. Такие «атомные часы» обладают гораздо большей точностью и стабильностью, чем любые из часов, которые могут быть созданы на основе механики макромира.

Более 800 000 книг и аудиокниг! 📚

Получи 2 месяца Литрес Подписки в подарок и наслаждайся неограниченным чтением

ПОЛУЧИТЬ ПОДАРОК