Равнозначность массы и энергии

В XIX веке химики все больше убеждались, что масса не может ни появляться ниоткуда, ни исчезать в никуда (закон сохранения массы). Однако Лоренцу и Эйнштейну казалось, что масса появляется при увеличении скорости и исчезает при уменьшении скорости. Конечно, изменения массы на обычных скоростях крайне малы, но они есть. Откуда же тогда берется масса и куда исчезает?

Начнем с того, что представим, что к телу определенной массы (m) прикладывается определенная сила (f). В таких условиях тело получает ускорение (a), а из второго закона Ньютона (см. ч. I) можно сделать вывод, что a =f/m. Присутствие ускорения означает, что скорость тела увеличивается, но в старой ньютоновской модели Вселенной это не влияло на массу тела, она оставалась постоянной. Если силу также рассматривать как постоянную, то f/m тоже остается постоянным и a, ускорение, тоже постоянно. В результате такого постоянного ускорения скорость тела (в ньютоновском представлении) будет возрастать неограниченно и достигнет любого значения, которое вы назовете, — надо только дождаться.

В эйнштейновской же Вселенной наблюдатель, измеряющий скорость объекта, к которому прикладывается непрерывная постоянная сила, никогда не сможет увидеть, как скорость этого объекта превысит скорость света в вакууме. Следовательно, хотя его скорость и возрастает под воздействием постоянной силы, эта скорость возрастает все меньше и меньше и по мере приближения к скорости света она увеличивается гораздо меньше. Короче, ускорение тела под влиянием постоянной силы уменьшается по мере увеличения скорости и становится нулевым, когда скорость достигает световой.

Но опять же по второму закону Ньютона масса тела равна силе, к нему прилагаемой, поделенной на ускорение, производимое этой силой, то есть m = f/a. Если сила постоянна, а ускорение уменьшается по мере увеличения скорости, то a уменьшается по мере увеличения скорости, а f — нет; следовательно, f/a увеличивается по мере увеличения скорости. А это означает, поскольку m = f/a, что масса увеличивается вместе со скоростью. (Так увеличение массы по мере увеличения скорости можно вывести из эйнштейновского допущения о постоянстве скорости света в вакууме.)

Подвергаясь воздействию силы, тело получает кинетическую энергию, которая равна половине его массы, умноженной на квадрат его скорости (e_k = ?mv², см. ч. I). С ньютоновской точки зрения это увеличение кинетической энергии вытекает только из увеличения скорости, поскольку масса считается неизменной. С эйнштейновской же точки зрения это увеличение кинетической энергии является результатом увеличения как скорости, так и массы.

В случаях, когда масса не задействована в изменениях энергии (как гласит точка зрения Ньютона), естественно представлять себе массу как что-то не имеющее отношения к энергии и думать, что, с одной стороны, существует закон сохранения энергии, а с другой — закон сохранения массы и оба закона самостоятельны.

Если же масса меняется и, таким образом, является тесно задействованной в процессах изменения энергии (как это представлял Эйнштейн), естественно думать о массе и энергии как о различных аспектах одного и того же, поэтому закон сохранения энергии будет включать в себя и массу. (Чтобы это стало абсолютно понятным в свете наших предыдущих выводов, мы иногда говорим о законе сохранения массы-энергии, но слово «масса» не является действительно обязательным.)

Движение не создает массу в любом реальном ощущении; масса — лишь один из аспектов общего возрастания кинетической энергии, получаемой из силы, на которую расходуется энергия где-то в другой части системы.

Но предположим теперь, что закон сохранения энергии (включающий в себя массу) остается действительным в релятивистской вселенной (а похоже, так оно и есть). По этому закону, хотя энергия и не может ни появляться, ни исчезать, она может переходить из одной формы в другую. Это означает, что определенное количество массы может быть конвертировано в определенное количество других форм энергии, таких как тепло, например, и что определенное количество энергии в другой форме, например тепло, может, следовательно, конвертироваться в определенное количество массы. А это и есть то, на чем настаивал Эйнштейн.

Равнозначность массы и энергии, объявленная Эйнштейном в его работе 1905 года, стала активно использоваться физиками его времени. Открытие тремя годами позже радиоактивности (частично я буду говорить об этом в III части), казалось, показало ситуацию, в которой энергия бесконечно порождалась из ниоткуда. Когда специальная теория относительности указала путь, ученые стали искать исчезновение массы — и нашли его.

Может показаться удивительным, что никто не заметил взаимных изменений массы и энергии, пока Эйнштейн не вывел их теоретически. Причина этого кроется в самой природе эквивалентности — в точном определении того, какое количество энергии соответствует какому количеству массы.

Чтобы определить это, давайте возьмем обращенный коэффициент Фитцджеральда, равный 1/?(1 – v²/c²). Это также можно записать, следуя алгебраическим преобразованиям, как (1 – v²c²)^–?. Выражение, записанное этим образом, можно сказать, принадлежит типу (1 – b)^–a. По теореме о биноме (математическое отношение, впервые разработанное самим Ньютоном) выражение (1 – b) ^–a может быть развернуто в бесконечную последовательность слагаемых, начинающуюся так: 1 + ab + ?(a² + 1)b² + …

Чтобы применить это к обращенному коэффициенту Фитцджеральда, примем a = ?, a b = v²/c². Тогда коэффициент Фитцджеральда становится равным:

1 + v²/2c² + 3v⁴/8c⁴ + …

Поскольку c, скорость света, принято считать имеющей постоянную величину, то второе и третье слагаемые (как и все последующие слагаемые этой бесконечной последовательности) увеличиваются по мере возрастания v. Но v достигает максимума тогда, когда скорость движущегося тела достигает скорости света (по крайней мере, большей скорости мы измерить не можем). Следовательно, различные слагаемые тогда достигают наибольшей величины, и при v = с последовательность принимает вид 1 + ? + ³/₈ …

Уменьшение становится еще более резким на более низких скоростях, и последующие слагаемые становятся все более и более незначительными. Когда v = c/2 (150 000 километров в секунду), эта последовательность выглядит как 1 + ¹/₈ + ³/₁₂₈… Когда v = c/4 (75 000 километров в секунду), серия выглядит как 1 + ¹/₃₂ + ¹/₂₀₄₈…

Такого рода уменьшающийся ряд показывает, что завершающая часть последовательности (несмотря на то, что она бесконечна) приходит к конечному небольшому объему. Следовательно, мы можем устранить все члены последовательности, кроме нескольких первых, и рассматривать эти несколько первых как всю последовательность в достаточно точном приближении.

К примеру, на обычных скоростях все слагаемые последовательности, кроме первого (который всегда равняется 1), принимают такие крошечные значения, что их можно полностью игнорировать. В таком случае обращенный коэффициент Фитцджеральда можно рассматривать как равный единице с большой степенью приближения (именно поэтому изменения в массе и длине оставались до XX столетия незамеченными). Чтобы сделать его еще более точным, особенно на очень высоких скоростях, мы можем рассматривать два первых слагаемых серии. Это достаточно точно для всех реальных целей, и о третьем и дальнейших слагаемых можно уже не думать.

Тогда с достаточной точностью можно сказать, что

Теперь же давайте вернемся к отношению массы Лоренца (уравнение 6.7), которое утверждает, что масса тела в движении (m₁) равна его массе покоя (m₀), поделенной на коэффициент Фитцджеральда. Это то же самое, что сказать, что m₁ равно m₀, умноженному на обращенный коэффициент Фитцджеральда; следовательно, используя новое выражение для этого обращения, данного в уравнении 7.1, мы можем написать отношение массы в следующем виде:

m₁ = m₀(l + v²/2c²) = m₀ + m₀v²/2с². (Уравнение 7.2)

Увеличение массы в результате движения, то есть m₁ – m₀, мы назовем просто m. Решив уравнение 7.2 для m₁– m₀, то есть для m, мы найдем, что

m = m₀v²/2c² = ?m₀v²/c². (Уравнение 7.3)

Выражение ?m₀v² из правой части уравнения 7.3 оказывается значением кинетической энергии движущегося тела (кинетическая энергия равна ?mv², см. ч. I), которое обладает своей массой покоя. На самом же деле оно обладает чуть большей массой благодаря факту своего движения, но за исключением случаев особо высоких скоростей реальная масса его лишь немногим больше массы покоя — столь немногим, что на практике мы можем считать ?m₀v² равным его кинетической энергии и быть уверенными в том, что это достаточно точно. Если мы обозначим эту кинетическую энергию как e, то уравнение 7.3 примет вид:

m = е/с². (Уравнение 7.4)

Вспомним о том, что т представляет прибавление массы, получаемое в ходе движения. Поскольку очень быстрое движение, представляющее очень большое значение e (кинетической энергии), производит лишь небольшой прирост массы, мы ясно видим, что большая часть обыденной энергии равна крошечному количеству массы. Для подсчета отношения можно использовать уравнение 7.4, простым преобразованием приводимое к привычному виду:

e = тс². (Уравнение 7.5)

В системе СГС (см. ч. I), где все единицы измерения воспроизводятся из сантиметров, граммов и секунд, значение c (скорости света в вакууме) — 30 000 000 000 сантиметров в секунду. Соответственно значение c² = 900 000 000 000 000 000 000 см²/с². Если принять за m один грамм, то mc² равняется 900 000 000 000 000 000 000 граммов на сантиметр в квадрате в секунду в квадрате, или, поскольку 1 г на см²/с² определяется как «эрг», 1 грамм массы равен 900 000 000 000 000 000 000 эргов энергии.

Одна килокалория равна 41 860 000 000 эргов. Это означает, что 1 грамм массы равен 21 500 000 000 килокалорий. Сгорание галлона бензина освобождает около 32 000 килокалорий. Этому количеству энергии соответствует масса в ³²⁰⁰⁰/_21500000000, то есть ¹/₆₇₀₀₀₀ грамма. Это означает, что сгорание целого галлона бензина, перевод энергии в тепло, свет, механическое движение поршней и т. д. приносит системе в целом потерю массы в ¹/₆₇₀₀₀₀ грамма. Неудивительно, что химики и физики не замечали столь малых изменений, пока не стали искать их специально.

С другой стороны, если бы целые граммы массы можно было полностью перевести в энергию, эта обширная концентрация произведенной энергии имела бы огромное действие. В части III будут перечислены шаги, по которым постепенно стало понятным, как это сделать. В результате этого появились атомные бомбы, угрожающие уничтожить все человечество, и атомные реакторы, дающие человечеству новую надежду на будущее.

Еще уравнение 7.5 предлагает первое удовлетворительное объяснение того, откуда берут энергию Солнце и другие звезды. Для того чтобы излучать столько энергии, сколько оно излучает, Солнце должно терять 4 600 000 тонн массы ежесекундно. Это довольно много по человеческим меркам, но незначительно для Солнца. Такими темпами оно может излучать практически неизменно еще миллиарды лет.

Формула Эйнштейна, e = mc², как вы видите, полностью происходит из допущения о постоянстве измеряемой скорости света, и само наличие атомных бомб является страшным свидетельством верности специальной теории относительности. Неудивительно, что из всех физических формул e = mc² получила наибольшую известность среди населения, не имеющего отношения к физике.