§ 4. Оператор ∇

А сейчас мы проделаем крайне занятную и остроумную вещь — одну из тех, которые так украшают математику. Доказательство того, что gradТ, или ?T является вектором, не зависит от того, какое скалярное поле мы дифференцируем. Все доводы остались бы в силе, если бы Т было заменено любым скалярным полем. А поскольку уравнения преобразований одинаковы независимо от того, что дифференцируется, то можно Т убрать и уравнение (2.26) заменить операторным уравнением

(2.27)

Как выразился Джинс, мы оставляем операторы «жаждущими продифференцировать что угодно».

Так как сами дифференциальные операторы преобразуются как компоненты векторного поля, то можно назвать их компонентами векторного оператора. Можно написать

(2.28)

это означает, конечно,

(2.29)

Мы абстрагировали градиент от Т — в этом и есть остроумие.

Конечно, вы должны все время помнить, что ? — это оператор. Сам по себе он ничего не означает. А если ? сам по себе ничего не означает, то что выйдет, если мы градиент помножим на скаляр, например на T, чтобы получилось произведение T?? (Ведь вектор всегда можно умножить на скаляр.) Это опять ничего не означает. Компонента х этого выражения равна

(2.30)

а это не число, а все еще какой-то оператор. Однако в согласии с алгеброй векторов Т? по-прежнему можно называть вектором.

А сейчас помножим ? на скаляр с другой стороны. Получится произведение ?T. В обычной алгебре

(2.31)

но нужно помнить, что операторная алгебра немного отличается от обычной векторной. Надо всегда выдерживать правильный порядок операторов, чтобы их операции имели смысл. Тогда у вас трудностей не возникнет, если вы припомните, что оператор ? подчиняется тем же условиям, что и производные. То, что вы дифференцируете, должно быть поставлено справа от ? Порядок здесь существен.

Если помнить о порядке, то сразу ясно, что Т? — это оператор, а произведение ?Т — это уже не «жаждущий» оператор, его жажда утолена. Это физическая величина, имеющая смысл. Он представляет собой скорость пространственного изменения Т: x-компонента ?Т показывает, насколько быстро Т изменяется в x-направлении. А куда направлен вектор ?Т? Мы знаем, что скорость изменения Т в каком-то направлении — это компонента ?Т в этом направлении [см. (2.15)]. Отсюда следует, что направление ?Т — это то, по которому ?Т обладает самой длинной проекцией; иными словами, то, по которому ?Т меняется быстрее всего. Направление градиента Т — это направление быстрейшего подъема величины Т.