§ 6. Закон Гаусса; дивергенция поля Е

Наш изящный результат — уравнение (4.32) — был доказан для отдельного точечного заряда. А теперь допустим, что имеются два заряда: заряд q₁ —в одной точке и заряд (q₂ — в другой. Задача выглядит уже потруднее. Теперь электрическое поле, нормальную составляющую которого мы интегрируем, это уже поле, созданное обоими зарядами. Иначе говоря, если E₁—то электрическое поле, которое создал бы один только заряд q₁,a E₂ — электрическое поле, создаваемое одним зарядом q₂, то суммарное электрическое поле равно Е=Е₁+Е₂. Поток через произвольную замкнутую поверхность S равен

(4.33)

Поток при наличии двух зарядов — это поток, вызванный одним зарядом, плюс поток, вызванный другим. Если оба находятся снаружи S, то поток сквозь S равен нулю. Если q₁ находится внутри S, а q₂ — снаружи, то первый интеграл даст q₁/?₀, а второй — нуль. Если поверхность окружает оба заряда, то каждый внесет вклад в интеграл и поток окажется равным (q₁+q₂)/?₀. Общее правило очевидно: суммарный поток из замкнутой поверхности равен суммарному заряду внутри нее, деленному на ?₀.

Этот результат представляет собой важный общий закон электростатического поля, и называется он теоремой Гаусса, или законом Гаусса:

Закон Гаусса:

(4.34)

или

(4.35)

где

(4.36)

Если мы описываем расположение зарядов на языке плотности зарядов ?, то мы можем считать, что каждый бесконечно малый объем dV содержит «точечный» заряд ?dV. Тогда сумма по всем зарядам есть интеграл

(4.37)

Из нашего вывода видно, что закон Гаусса вытекает из того факта, что показатель степени в законе Кулона в точности равен двум. Поле с законом 1/r³, да и любое поле 1/rⁿ с n?2, не привело бы к закону Гаусса. Значит, закон Гаусса как раз выражает (только в другой форме) закон сил Кулона, действующих между двумя зарядами. Действительно, отправляясь от закона Гаусса, можно вывести закон Кулона. Оба они совершенно равноценны до того момента, пока силы между зарядами действуют радиально.

Теперь мы хотим записать закон Гаусса на языке производных. Чтобы это сделать, применим его к поверхности бесконечно малого куба. В гл. 3 мы показали, что поток Е из такого куба равен дивергенции ?·Е, помноженной на объем dV куба. Заряд внутри dV по определению ? равен ?dV, так что закон Гаусса дает

или

(4.38)

Дифференциальная форма закона Гаусса — это первое из наших фундаментальных уравнений поля в электростатике, уравнение (4.5). Мы теперь показали, что два уравнения электростатики (4.5) и (4.6) эквивалентны закону силы Кулона. Разберем один пример применения закона Гаусса (другие примеры будут рассмотрены позже).