§ 5. Поле маленькой петли; магнитный диполь

Воспользуемся методом векторного потенциала, чтобы найти магнитное поле маленькой петли с током. Как обычно, под словом «маленькая» мы просто подразумеваем, что нас интересуют поля только на больших расстояниях по сравнению с размером петли. Как мы увидим, любая петелька представляет собой «магнитный диполь». Это значит, что она создает магнитное поле, подобное электрическому полю от электрического диполя.

Возьмем сначала прямоугольную петлю и выберем оси координат, как показано на фиг. 14.6.

Фиг. 14.6. Прямоугольная проволочная петля с током I. Чему равно магнитное поле в точке P? (R?a и b).

Токов в направлении z нет, поэтому A_z равно нулю. Есть токи в направлении х по обеим сторонам прямоугольника, длина которых а. В каждой стороне плотность тока и ток однородны. Поэтому решение для А_х в точности подобно электростатическому потенциалу от двух заряженных палочек (фиг. 14.7).

Фиг. 14.7. Распределение j_x в проволочной петле о током, изображенной на фиг. 14.6.

Поскольку палочки имеют противоположные заряды, их электрический потенциал на больших расстояниях есть как раз дипольный потенциал (см. гл. 6, § 5). В точке Р на фиг. 14.6 потенциал равен

(14.28)

где р — дипольный момент распределения зарядов. В данном случае дипольный момент равен полному заряду на одной палочке, умноженному на расстояние между ними:

(14.29)

Дипольный момент смотрит в отрицательном направлении y, поэтому косинус угла между R и р равен —y/R (где у — координата Р). Итак, мы имеем

Заменяя ? на I/с², сразу же получаем А_х:

(14.30)

С помощью тех же рассуждений:

(14.31)

Снова А_у пропорционально х, а А_х пропорционально —y, так что векторный потенциал (на больших расстояниях) идет по кругу вокруг оси z, циркулируя таким же образом, как ток I в петле (фиг. 14.8).

Фиг. 14.8. Векторный потенциал маленькой петли с током, расположенной в начале координат (в плоскости ху). Поле магнитного диполя.

Величина А пропорциональна Iab, т. е. току, умноженному на площадь петли. Это произведение называется магнитным дипольным моментом (или часто просто «магнитным моментом») петли. Мы обозначим его через ?:

(14.32)

Векторный потенциал маленькой плоской петельки любой формы (круг, треугольник и т. п.) также дается уравнениями (14.30) и (14.31), если заменить Iab на

(14.33)

Мы предоставляем вам право это доказать.

Нашему уравнению можно придать векторную форму, если определить вектор ? как нормаль к плоскости петли с положительным направлением, определяемым по правилу правой руки (см. фиг. 14.8). Тогда можно написать

(14.34)

Нам еще нужно найти В. Пользуясь (14.33) и (14.34), а также (14.4), получаем

(14.35)

(под многоточием мы подразумеваем ?/4??₀с²),

Компоненты поля В ведут себя точно так же, как компоненты поля Е для диполя, ориентированного вдоль оси z [см. уравнения (6.14) и (6.15), а также фиг. 6.5, стр. 115]. Вот почему мы называем петлю магнитным диполем. Слово «диполь» в применении к магнитному полю немного запутывает, потому что нет отдельных магнитных «полюсов», соответствующих электрическим зарядам. Магнитное «дипольное поле» создается не двумя «зарядами», а элементарной петлей с током.

В общем-то довольно любопытно, что, начав с совсем разных законов, ?·Е=?/?₀ и ??В=j/?₀с², можно прийти к полю одного и того же вида. Почему так получается? Потому что дипольные поля возникают, только когда мы находимся далеко от всех токов и зарядов. Тогда в большей части пространства уравнения для Е и В одинаковы: у обоих дивергенция и ротор равны нулю. Следовательно, они дают одни и те же решения. Однако источники, конфигурацию которых мы описываем с помощью дипольных моментов, физически совершенно различны. В одном случае это циркулирующий ток, а в другом — пара зарядов, один над, а другой под плоскостью петли для соответствующего поля.