§ 5. Циркуляция векторного поля
Мы хотим теперь рассмотреть ротор поля примерно так же, как рассматривали дивергенцию. Мы вывели теорему Гаусса, вычисляя интеграл по поверхности, хотя с самого начала отнюдь не было ясно, что мы будем иметь дело с дивергенцией. Откуда же можно было знать, что для ее получения надо интегрировать по поверхности? Этот результат вовсе не был очевиден. И столь же неоправданно мы сейчас вычислим другую характеристику поля и покажем, что она связана с ротором. На этот раз мы подсчитаем так называемую циркуляцию векторного поля. Если С — произвольное векторное поле, мы возьмем его составляющую вдоль кривой линии и проинтегрируем эту составляющую по замкнутому контуру. Интеграл называется циркуляцией векторного поля по контуру. Мы уже раньше в этой главе рассматривали криволинейный интеграл от ??. Сейчас мы то же самое проделываем с произвольным векторным полем С.
Пусть ? — произвольный замкнутый контур в пространстве (воображаемый, разумеется). Пример мы видим на фиг. 3.7.
Фиг. 3.7. Циркуляция вектора С но кривой ? есть криволинейный интеграл от Сt (касательной составляющей С).
Криволинейный интеграл от касательной составляющей С по контуру записывается в виде
(3.30)
Заметьте, что интеграл берется по всему замкнутому пути, а не от одной точки до другой, как это делалось раньше. Кружочек на знаке интеграла должен нам напоминать об этом. Такой интеграл называется циркуляцией векторного поля по кривой ?. Название связано с тем, что первоначально так рассчитывали циркуляцию жидкости. Но название это, как и поток, было распространено на любые поля, даже такие, в которых «циркулировать» нечему.
Забавляясь той же игрой, как с потоком, мы можем показать, что циркуляция вдоль контура есть сумма циркуляции вдоль двух меньших контуров. Положим, что, соединив две точки (1) и (2) первоначальной кривой с помощью некоторой линии, мы разбили кривую на два контура ?1 и ?2 (фиг. 3.8).
Фиг. 3.8. Циркуляция по всему контуру есть сумма циркуляции по двум контурам: ?1=?a+?ab и ?2=?ь+?aЬ.
Контур ?1 состоит из ?a — части первоначальной кривой слева от (1) и (2) и «соединения» ?ab. Контур ?2 состоит из остатка первоначальной кривой плюс то же соединение.
Циркуляция вдоль ?1 есть сумма интеграла вдоль ?а и вдоль ?аЬ. Точно так же и циркуляция вдоль ?2 есть сумма двух частей, одной вдоль ?b, другой — вдоль Гab. Интеграл вдоль Гab для кривой ?2 имеет знак, противоположный тому знаку, который он имел для кривой ?1, потому что направления обхода противоположны (в обоих криволинейных интегралах направления поворота нужно брать одни и те же).
Повторяя прежние аргументы, мы можем убедиться, что сумма двух циркуляции даст как раз криволинейный интеграл вдоль первоначальной кривой ?. Интегралы по ? ab сократятся. Циркуляция по одной части плюс циркуляция вдоль другой равняется циркуляции вдоль внешней линии. Этот процесс разрезания большого контура на меньшие можно продолжить. При сложении циркуляции по меньшим контурам смежные части будут сокращаться, так что сумма их сведется к циркуляции вдоль единственного первоначального контура.
Теперь предположим, что первоначальный контур — это граница некоторой поверхности. Существует бесконечное множество поверхностей, границей которых служит все тот же первоначальный замкнутый контур. Наши результаты не зависят, однако, от выбора этих поверхностей. Сперва мы разобьем наш первоначальный контур на множество малых контуров, лежащих на выбранной поверхности (фиг. 3.9).
Фиг. 3.9. Некоторая поверхность, ограниченная контуром ?. Поверхность разделена на множество маленьких участков, каждый примерно в форме квадрата. Циркуляция по ? есть сумма циркуляции по всем маленьким контурам.
Какой бы ни была форма поверхности, но если малые контуры сделать достаточно малыми, всегда можно будет считать каждый из них замыкающим достаточно плоскую поверхность. Кроме того, каждый из них можно сделать очень похожим на квадрат. И циркуляцию вокруг большого контура ? можно найти, подсчитав циркуляции по всем квадратикам и сложив их.