§ 7. Тензоры высших рангов

Тензор напряжений S_ij описывает внутренние силы в веществе. Если при этом материал упругий, то внутренние деформации удобно описывать с помощью другого тензора T_ij— так называемого тензора деформаций. Для простого объекта, подобного бруску из металла, изменение длины ?L, как вы знаете, приблизительно пропорционально силе, т. е. он подчиняется закону Гука

Для произвольных деформаций упругого твердого тела тензор деформаций T_ij связан с тензором напряжений S_ij системой линейных уравнений

(31.26)

Вы знаете также, что потенциальная энергия пружины (или бруска) равна

а обобщением плотности упругой энергии для твердого тела будет выражение

(31.27)

Полное описание упругих свойств кристалла должно задаваться коэффициентами ?_ijkl. Это знакомит нас с новым зверем — тензором четвертого ранга. Поскольку каждый из индексов может принимать одно из трех значений — х, у или z, то всего оказывается 3⁴=81 коэффициент. Но различны из них на самом деле только 21. Во-первых, поскольку тензор S_ij симметричен, у него остается только шесть различных величин, и поэтому в уравнении (31.27) нужны только 36 различных коэффициентов. Затем, не изменяя энергии, мы можем переставить S_ij и S_kl, так что ?_ijkl должно быть симметрично при перестановке пары индексов ij и kl. Это уменьшает число коэффициентов до 21. Итак, чтобы описать упругие свойства кристалла низшей возможной симметрии, требуется 21 упругая постоянная! Разумеется, для кристаллов с более высокой симметрией число необходимых постоянных уменьшается. Так, кубический кристалл описывается всего тремя упругими постоянными, а для изотропного вещества хватит и двух.

В справедливости последнего утверждения можно убедиться следующим образом. В случае изотропного материала компоненты ?_ijkl не должны зависеть от поворота осей. Как это может быть? Ответ: они могут быть независимы, только когда выражаются через тензоры ?_ij. Но существует лишь два возможных выражения, имеющих требуемую симметрию, — это ?_ij?_kl и ?_ik?_jl+?_il+?_jk, так что ?_ijkl должно быть их линейной комбинацией. Таким образом, для изотропного материала

следовательно, чтобы описать упругие свойства материала, требуются две постоянные: а и b. Я предоставляю вам самим доказать, что для кубического кристалла требуются три такие постоянные.

И еще один последний пример (на этот раз пример тензора третьего ранга) дает нам пьезоэлектрический эффект. При напряженном состоянии в кристалле возникает электрическое поле, пропорциональное тензору напряжений. Общий закон пропорциональности имеет вид

где E_i — электрическое поле, а P_ijk — пьезоэлектрические коэффициенты (пьезомодули), составляющие тензор. Можете ли вы сами доказать, что если у кристалла есть центр инверсии (т. е. если он инвариантен относительно замены х, у, z?-х,-y,-z), то все его пьезоэлектрические коэффициенты равны нулю.