§ 3. Электрический потенциал

Для начала усвоим понятие электрического потенциала, связанное с работой переноса заряда из одной точки в другую. Пусть имеется какое-то распределение зарядов. Оно создает электрическое поле. Спрашивается, какую работу надо затратить, чтобы перенести небольшой заряд из одной точки в другую? Работа, произведенная против действия электрических сил при переносе заряда по некоторому пути, равна минус компоненте электрической силы в направлении движения, проинтегрированной по этому пути. Если заряд переносится от точки а к точке b, то

где F — электрическая сила, действующая на заряд в каждой точке, а ds — дифференциал вектора перемещения вдоль траектории (фиг. 4.2).

Фиг. 4.2. Работа переноса заряда от а к b равна минус интегралу от F·ds по выбранному пути.

Для наших целей интереснее рассмотреть работу переноса единицы заряда. Тогда сила, действующая на такой заряд, численно совпадает с электрическим полем. Обозначая в этом случае работу против действия электрических сил буквой W_един, напишем

(4.19)

Вообще говоря, то, что получается при интегрированиях такого сорта, зависит от выбранного пути интегрирования. Но если бы интеграл в (4.19) зависел от пути, мы бы могли извлечь из поля работу, поднеся заряд к b по одному пути и унеся обратно к а по другому. Можно было бы подойти к b по тому пути, где W меньше, а удалиться по тому пути, где оно больше, получив работы больше, чем было вложено.

В принципе нет ничего невозможного в том, чтобы получать работу из поля. Мы еще познакомимся с полями, в которых это возможно. Может оказаться, что, двигая заряды, вы действуете на остальную часть всего «механизма» с какой-то силой. Если «механизм» сам движется против этой силы, он будет терять энергию, и полная энергия будет тем самым оставаться постоянной. В электростатике, однако, никакого «механизма» нет. Мы знаем, каковы те силы отдачи, которые действуют на источники поля. Это кулоновские силы, действующие на заряды, ответственные за создание поля. Если положения всех прочих зарядов зафиксированы (а это допущение делается в одной только электростатике), то силы отдачи на них не смогут действовать. И тогда нет способа извлечь из них энергию, разумеется, при условии, что принцип сохранения энергии в электростатике справедлив. Мы, конечно, верим, что это так, однако попробуем все же показать, как это следует из закона силы Кулона.

Посмотрим сначала, что происходит в поле, созданном единичным зарядом q. Пусть точка а удалена от q на расстояние r₁, а точка b — на расстояние r₂. Перенесем теперь другой заряд, называемый «пробным» и равный единице, от а до b. Изберем сперва самый легкий для расчета путь. Перенесем наш пробный заряд сначала по дуге круга, а после по радиусу (фиг. 4.3, а).

Фиг. 4.3. При переносе пробного заряда от а к b по любому пути тратится одна и та же работа.

Рассчитать работу переноса по такому пути — детская забава (а иначе бы мы его и не выбрали). Во-первых, на участке aa' работа не производится. Поле по закону Кулона радиально, т. е. направлено поперек направления движения. Во-вторых, на участке a'b поле меняется как 1/r² и направлено по движению. Так что работа переноса пробного заряда от а к b равна

(4.20)

Выберем теперь другой легкий путь, скажем тот, который изображен на фиг. 4.3, б. Он идет попеременно то по дуге окружности, то по радиусу. Каждый раз, когда путь пролегает по дуге, никакой работы не затрачивается. Каждый раз, когда путь идет по радиусу, интегрируется 1/r². По первому радиальному участку интеграл берется от r_a до r_a', по следующему — от r_а. до r_а" и т. д. Сумма всех таких интегралов как раз равна одному интегралу, но в пределах от r_а до r_b. В общем получится тот же ответ, что и в первом испробованном нами пути. Ясно, что и для любого пути, составленного из произвольного числа участков такого вида, получится тот же результат.

Ну а как насчет плавных траекторий? Получим ли мы тот же ответ? Этот вопрос мы обсудили в вып. 1, гл. 13. Пользуясь теми же доводами, что и тогда, мы можем заключить, что работа переноса единичного заряда от а до b от пути не зависит:

А раз выполняемая работа зависит только от концов пути, то она может быть представлена в виде разности двух чисел. В этом можно убедиться следующим образом. Выберем отправную точку Р₀ и договоримся оценивать наш интеграл, пользуясь только теми траекториями, которые проходят через точку Р₀. Обозначим работу, выполненную при движении против поля от Р₀ до точки а, через ?(а), а работу на участке от Р₀ до точки b — через ?(b) (фиг. 4.4).

Фиг. 4.4. Работа, затраченная на движение вдоль любого пути от а до b, равна минус работе от некоторой точки Р₀ до а плюс работа от Р₀ до b.

Работа перехода от а к Р₀ (по дороге к b) равна ?(a) с минусом, так что

(4.21)

Так как повсюду будет встречаться только разность значений функции ? в двух точках, то положение точки Р₀ в сущности безразлично. Однако как только отправная точка выбрана, число ? тем самым определяется в любой точке пространства; значит, ? является скалярным полем, функцией от х, у, z. Эту скалярную функцию мы называем электростатическим потенциалом в произвольной точке.

Электростатический потенциал

(4.22)

Часто очень удобно брать отправную точку на бесконечности. Тогда потенциал ?одиночного заряда в начале координат, взятый в произвольной точке (х, у, z), равен [см. уравнение (4.20)]

(4.23)

Электрическое поле нескольких зарядов можно записать в виде суммы электрических полей от первого заряда, от второго, от третьего и т. д. Интегрируя сумму для того, чтобы определить потенциал, мы придем к сумме интегралов. Каждый из них — это потенциал соответствующего заряда. Значит, потенциал ? множества зарядов есть сумма потенциалов каждого из зарядов по отдельности. Таким образом, и для потенциалов существует принцип наложения. Пользуясь такими же аргументами, как и тогда, когда мы искали электрическое поле группы зарядов или распределения зарядов, мы можем получить окончательные формулы для потенциала ? в точке, обозначенной как (1):

(4.24)

(4.25)

Не забывайте, что потенциал ? имеет физический смысл: это потенциальная энергия, которую имел бы единичный заряд, если его перенести в указанную точку пространства из некоторой отправной точки.