§ 6. Освещение; равномерное освещение плоскости

В этом параграфе мы обратимся к совсем другой физической проблеме — мы ведь хотим показать большое разнообразие возможностей. На этот раз мы проделаем кое-что, что приведет нас к интегралу того же сорта, что мы нашли в электростатике. (Если перед нами стоит математическая задача, приводящая к некоторому интегралу, а интеграл этот уже знаком нам по другой задаче, то кое-что о его свойствах нам известно.) Возьмем пример из техники освещения. Пусть на расстоянии а над плоскостью имеется какой-то источник света. Как будет освещаться поверхность? Чему равна энергия излучения, падающая на единичную площадку поверхности за единицу времени (фиг. 12.9)?

Фиг. 12.9. Освещенность I_n поверхности равна энергии излучения, падающей в единицу времени на единичную площадку поверхности.

Мы предполагаем, что источник сферически-симметричный, так что свет излучается одинаково во всех направлениях. Тогда количество излученной энергии, проходящее через единичную площадку, перпендикулярную потоку света, меняется обратно пропорционально квадрату расстояния. Очевидно, что интенсивность света в направлении нормали дается такой же формулой, что и электрическое поле от точечного источника. Если световые лучи падают на поверхность под углом ? к нормали, то I, энергия, падающая на единичную площадку поверхности, уменьшается в cos? раз, потому что та же энергия падает на площадь в 1/cos? раз большую. Если мы назовем силу нашего источника S, тогда I_n, освещенность поверхности, равна

(12.39)

где e_r — единичный вектор в направлении от источника, а n — единичная нормаль к поверхности. Освещенность I_n соответствует нормальной компоненте электрического поля от точечного источника с зарядом 4??₀S. Учитывая это, мы видим, что для любого распределения источников света можно найти ответ, решая соответствующую задачу электростатики. Мы вычисляем вертикальную компоненту электрического поля на плоскости от распределения зарядов точно таким же образом, как для источников света[13].

Рассмотрим такой пример. Нам необходимо для какого-то эксперимента устроить так, чтобы стол освещался равномерно. Мы располагаем длинными трубками флуоресцентных ламп, излучающих равномерно по всей своей длине. Наш стол можно осветить, разместив флуоресцентные трубки правильными рядами на потолке, который находится на высоте z над столом. Чему должно быть равно наибольшее расстояние b от трубки до трубки, если мы хотим, чтобы поверхностное освещение было равномерным с точностью до одной тысячной? Ответ: 1) найдите электрическое поле от набора равномерно заряженных проводов с промежутком между ними, равным b; 2) подсчитайте вертикальную компоненту электрического поля; 3) определите, чему должно быть равно b, чтобы волнистость поля была не больше одной тысячной.

В гл. 7 мы видели, что электрическое поле от ряда заряженных проводов может быть представлено в виде суммы членов, каждый из которых дает синусоидальное изменение поля с периодом b/n, где n — целое число. Амплитуда любого из этих членов дается уравнением (7.44):

Нам нужно взять только случай n=1, раз мы хотим получить поле в точках, не слишком близких к проводам. Чтобы получить полное решение, нам еще нужно определить коэффициенты А_n, которые мы пока не нашли (хотя они находятся прямым вычислением). Поскольку нам нужно знать только A₁, то можно оценить его величину, считая ее равной средней величине поля. Экспоненциальный множитель тогда дает нам сразу относительную амплитуду изменений. Если мы хотим, чтобы этот множитель был равен 10^-3, то b оказывается равным 0,91 z.

Если промежуток между лампами сделать равным ³/₄ расстояния до потолка, экспоненциальный множитель тогда будет равен 1/4000, и мы имеем фактор надежности 4, так что мы можем быть вполне уверены, что освещение будет постоянным с точностью до одной тысячной. (Точное вычисление показывает, что A₁ в действительности в два раза больше среднего поля, так что точный ответ будет b=0,8 z.) Немного неожиданно, что для столь равномерного освещения допустимый промежуток между трубками оказался таким большим.