§ 4. Магнитное поле постоянного тока; закон Ампера
Мы видели, что на проволоку в магнитном поле, создаваемом, скажем, магнитом, действует сила. Из закона о том, что действие равно противодействию, можно ожидать, что, когда по проволоке протекает ток[15], возникает сила, действующая на источник магнитного поля, т. е. на магнит. Такие силы действительно существуют; в этом можно убедиться по отклонению стрелки компаса вблизи проволоки с током. Далее, мы знаем, что магниты испытывают действие сил со стороны других магнитов, а отсюда вытекает, что когда по проволоке течет ток, то он создает собственное магнитное поле. Значит, движущиеся заряды создают магнитное поле. Попытаемся понять законы, которым подчиняются такие магнитные поля. Вопрос ставится так: дан ток, какое магнитное поле он создаст? Ответ на этот вопрос был получен экспериментально тремя опытами и подтвержден блестящим теоретическим доказательством Ампера. Мы не будем останавливаться на этой интересной истории, а просто скажем, что большое число экспериментов наглядно показало справедливость уравнений Максвелла. Их мы и возьмем в качестве отправной точки. Опуская в уравнениях члены с производными по времени, мы получаем уравнения магнитостатики
(13.12)
и
(13.13)
Эти уравнения справедливы только при условии, что все плотности электрических зарядов и все токи постоянны, так что электрические и магнитные поля не меняются со временем — все поля «статические».
Можно тут заметить, что верить в существование статического магнитного поля довольно опасно, потому что вообще-то для получения магнитного поля нужны токи, а токи возникают только от движущихся зарядов. Следовательно, «магнитостатика» — только приближение.
Она связана с особым случаем динамики, когда движется большое число зарядов, которые можно приближенно описывать как постоянный поток зарядов. Только в этом случае можно говорить о плотности тока j, которая не меняется со временем. Более точно эту область следовало бы назвать изучением постоянных токов. Предполагая, что все поля постоянны, мы отбрасываем члены с ?E/?t и ?B/?t в полных уравнениях Максвелла [уравнения (2.41)] и получаем два написанных выше уравнения (13.12) и (13.13). Заметьте также, что поскольку дивергенция ротора любого вектора всегда нуль, то уравнение (13.13) требует, чтобы ?·j=0. В силу уравнения (13.8) это верно, только если ??/?t=0. Но такое может быть, если Е не меняется со временем, следовательно, наши предположения внутренне согласованы.
Условие, что ?·j=0, означает, что у нас могут быть только заряды, текущие по замкнутым путям. Они могут, например, течь по проводам, образующим замкнутые петли, которые называются цепями. Цепи могут, конечно, содержать генераторы или батареи, поддерживающие ток зарядов. Но в них не должно быть конденсаторов, которые заряжаются или разряжаются. (Мы, конечно, расширим теорию, включив переменные поля, но сначала мы хотим взять более простой случай постоянных токов.)
Обратимся теперь к уравнениям (13.12) и (13.13) и посмотрим, что они означают. Первое говорит, что дивергенция В равна нулю. Сравнивая его с аналогичным уравнением электростатики, по которому ?·Е=?/?0, можно заключить, что магнитного аналога электрического заряда не существует. Не бывает магнитных зарядов, из которых могли бы исходить линии В. Если говорить о «линиях» векторного поля В, то они нигде не начинаются и нигде не оканчиваются. Но тогда откуда же они берутся? Магнитные поля «появляются» в присутствии токов; ротор, взятый от них, пропорционален плотности тока. Когда есть токи, есть и линии магнитного поля, образующие петли вокруг токов. Поскольку линии В не имеют ни конца, ни начала, они часто возвращаются в исходную точку, образуя замкнутые петли. Но могут возникнуть и более сложные случаи, когда линии не представляют собой простых петель. Однако как бы они ни шли, они никогда не исходят из точек. Никаких магнитных зарядов никто никогда не находил, поэтому ?·В=0. Это же утверждение справедливо не только для магнитостатики, но справедливо всегда — даже для динамических полей.
Связь между полем В и токами дается уравнением (13.13). Положение здесь совсем другое, в корне отличное от электростатики, где у нас было ??Е=0. Это уравнение означало, что линейный интеграл от Е по любому замкнутому пути равен нулю:
Мы получили этот результат с помощью теоремы Стокса, согласно которой интеграл по любому замкнутому пути от любого векторного поля равен поверхностному интегралу от нормальной компоненты ротора этого вектора (интеграл берется по любой поверхности, натянутой на данный контур).
Фиг. 13.6. Контурный интеграл от тангенциальной составляющей В равен поверхностному интегралу от нормальной составляющей вектора (??b).
Применяя эту же теорему к вектору магнитного поля и используя обозначения, показанные на фиг. 13.6, получаем
(13.14)
Найдя rot В из уравнения (13.13), имеем
(13.15)
Интеграл от j по S, согласно (13.5), есть полный ток I через поверхность S. Поскольку для постоянных токов ток через S не зависит от формы S, если она ограничена кривой ?, то обычно говорят о «токе через замкнутую петлю ?». Мы имеем, таким образом, общий закон: циркуляция В по любой замкнутой кривой равна току I сквозь петлю, деленному на ?0с2:
(13.16)
Этот закон, называемый законом Ампера, играет такую же роль в магнитостатике, как закон Гаусса в электростатике. Один лишь закон Ампера не определяет В через токи; мы должны, вообще говоря, использовать также ?·В=0. Но, как мы увидим в следующем параграфе, он может быть использован для нахождения поля в тех особых случаях, которые обладают некоторой простой симметрией.