§ 1. Тензор деформации

В предыдущей главе мы говорили о возмущениях упругих тел в простых случаях. В этой главе мы посмотрим, что может происходить внутри упругого материала в общем случае. Как описать условия напряжения и деформации в большом куске желе, скрученном и сжатом каким-то очень сложным образом? Для этого необходимо описать локальную деформацию в каждой точке упругого тела, а это можно сделать, задав в ней набор шести чисел — компонент симметричного тензора. Ранее (в гл. 31) мы говорили о тензоре напряжений, теперь же нам потребуется тензор деформации.

Предположим, что мы взяли недеформированный материал и, прикладывая напряжение, наблюдаем за движением маленького пятнышка примеси, попавшей внутрь. Пятнышко, которое вначале находилось в точке Р и имело положение r=(x, у, z), передвигается в новую точку Р', т. е. в положение r'=(х', у', z'), как это показано на фиг. 39.1.

Фиг. 39.1. Пятнышко примеси в материале из точки Р недеформированного кубика после деформации перемещается в точку Р'.

Мы будем обозначать через u вектор перемещения из точки Р в точку Р', т. е.

(39.1)

Перемещение u зависит, конечно, от точки Р, из которой оно выходит так, что и есть векторная функция от r или от (х, у, z).

Сначала рассмотрим простейший случай, когда деформация по всему материалу постоянна, т. е. то, что называется однородной деформацией. Предположим, например, что мы взяли балку из какого-то материала и равномерно ее растянули. Иначе говоря, мы просто равномерно изменили ее размер в одном направлении, скажем в направлении оси х (фиг. 39.2).

Фиг. 39.2. Однородная деформация растяжения.

Перемещение u_x пятнышка с координатой х пропорционально самому х.

Действительно,

Мы будем записывать u_x следующим образом:

Разумеется, константа пропорциональности е_хх— это то же, что наше старое отношение ?l/l. (Скоро вы увидите, почему нам потребовался двойной индекс.)

Если же деформация неоднородна, то связь между х и u_x в материале будет изменяться от точки к точке. В таком общем случае мы определим е_хх как своего рода локальную величину ?l/l, т. е.

(39.2)

Это число, которое теперь будет функцией х, у и z, описывает величину растяжения в направлении оси х по всему куску желе. Возможны, конечно, растяжения и в направлении осей у и z. Мы будем описывать их величинами

(39.3)

Кроме того, нам нужно описать деформации типа сдвигов. Вообразите, что в первоначально невозмущенном желе вы выделили маленький кубик. Нажав на желе, мы изменяем его форму, и наш кубик может превратиться в параллелограмм (фиг. 39.3)[57].

Фиг. 39.3. Однородная деформация сдвига.

При такой деформации перемещение в направлении х каждой частицы пропорционально ее координате у:

(39.4)

а перемещение в направлении у пропорционально х:

(39.5)

Таким образом, деформацию сдвигового типа можно описать с помощью

где

Теперь вы сочтете, что при неоднородной деформации обобщенную деформацию сдвига можно описать, определив величины е_xy и е_yx следующим образом:

(39.6)

Однако здесь есть некая трудность. Предположим, что перемещения u_х и u_y имеют вид

Они напоминают уравнения (39.4) и (39.5), за исключением того, что при u_y стоит обратный знак. При таком перемещении маленький кубик из желе претерпевает простой поворот на угол ?/2 (фиг. 39.4).

Фиг. 39.4. Однородный поворот. Никаких деформаций нет.

Никакой деформации здесь вообще нет, а есть просто вращение в пространстве. При этом никакого возмущения материала не происходит, а относительное положение всех атомов совершенно не изменяется. Нужно как-то устроить так, чтобы чистое вращение не входило в наше определение деформации сдвига. Указанием может послужить то, что если ?u_y/?х и ?u_x/?у равны и противоположны, никакого напряжения нет; этого можно добиться, определив

Для чистого вращения оба они равны нулю, но для чистого сдвига мы получаем, как и хотели, е_ху=е_уx.

В наиболее общем случае возмущения, который наряду со сдвигом может включать растяжение или сжатие, мы будем определять состояние деформации заданием девяти чисел:

(39.7)

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку тензор этот симметричен (согласно нашему определению, е_ху всегда равно е_ух), то на самом деле различных чисел здесь только шесть. Вы помните (см. гл. 31) общее свойство всех тензоров — элементы его преобразуются при повороте подобно произведению компонент двух векторов. (Если А и В — векторы, то С_ij=А_iВ_j — тензор.) А каждое наше e_ij есть произведение (или сумма таких произведений) компонент вектора u=(u_х, u_у, u_z) и оператора ?=(?/?x,?/?y,?/?z), который, как мы знаем, преобразуется подобно вектору. Давайте вместо х, у и z писать x₁, x₂ и x₃, а вместо u_х, u_y и u_z писать u₁, u₂ и u₃; тогда общий вид элемента тензора e_ij будет выглядеть так:

(39.8)

где индексы i и j могут принимать значения 1, 2 или 3.

Когда мы имеем дело с однородной деформацией, которая может включать как растяжения, так и сдвиги, то все e_ij — постоянные, и мы можем написать

(39.9)

(Начало координат выбрано в точке, где u равно нулю.) В этих случаях тензор деформации e_ij дает соотношение между двумя векторами — вектором координаты r=(x, y, z) и вектором перемещения u=(u_х, u_у, u_z).

Если же деформация неоднородна, то любой кусочек желе может быть как-то искажен и, кроме того, могут возникнуть местные повороты. Когда все возмущения малы, мы получаем

(39.10)

где ?_ij, — антисимметричный тензор

(39.11)

описывающий поворот. Нам незачем беспокоиться о поворотах; займемся только деформацией, которая описывается симметричным тензором е_ij.