§ 3. Кручение стержня; волны сдвига
Обратимся теперь к более сложному примеру, когда различные части материала напряжены по-разному. Рассмотрим скрученный стержень — скажем, приводной вал какой-то машины или подвеску из кварцевой нити, применяемую в точных приборах. Из опытов с маятником кручения вы, по-видимому, знаете, что момент сил, действующий на закручиваемый стержень, пропорционален углу, причем константа пропорциональности, очевидно, зависит от длины стержня, его радиуса и свойств материала. Но каким образом — вот в чем вопрос? Теперь мы в состоянии ответить на него: просто нужно немного разобраться в геометрии.
На фиг. 38.9, а показан цилиндрический стержень, обладающий длиной L и радиусом а, один из концов которого закручен на угол ? по отношению к другому.
Фиг. 38.9. Кручение цилиндрического стержня (а), кручение цилиндрического слоя (б) и сдвиг любого маленького кусочка в слое (в).
Если мы хотим связать деформацию с тем, что уже известно, то стержень можно представить состоящим из множества цилиндрических оболочек и выяснить, что происходит в каждой из этих оболочек. Начнем с рассмотрения тонкого короткого цилиндра радиусом r (меньшего, чем в) и толщиной ?r, как показано на фиг. 38.9, б. Если теперь посмотреть на кусочек внутри этого цилиндра, который первоначально был маленьким квадратом, то можно заметить, что он превратился в параллелограмм. Каждый элемент цилиндра сдвигается, а угол сдвига ? равен
Поэтому напряжение сдвига g в материале будет [из уравнения (38.13)]
(38.21)
Напряжение среза равно тангенциальной силе ?F, действующей на конец квадратика, поделенной на его площадь ?l?r (см. фиг. 38.9, в):
Сила ?F, действующая на конец такого квадратика, создает относительно оси стержня момент сил ??, равный
(38.22)
Полный момент ? равен сумме таких моментов по всему периметру цилиндра. Складывая достаточное число таких кусков так, чтобы все ?l составляли 2?r, находим, что полный момент сил для пустотелой трубы равен
(38.23)
Или, используя уравнение (38.21),
(38.24)
Мы получили, что жесткость ?/? пустотелой трубы по отношению к кручению пропорциональна кубу радиуса r и толщине ?r и обратно пропорциональна его длине L.
Теперь представьте себе, что стержень сделан из целой серии таких концентрических труб, каждая из которых закручена на угол ? (хотя внутренние напряжения в каждой трубе различны). Полный момент равен сумме моментов, требуемых для скручивания каждой оболочки, так что для твердого стержня
где интеграл берется от 0 до а — радиуса стержня. После интегрирования получаем
(38.25)
Если закручивать стержень, то его момент оказывается пропорциональным углу и четвертой степени диаметра: стержень вдвое большего радиуса в шестнадцать раз жестче относительно кручения.
Прежде чем расстаться с кручением, рассмотрим применение теории к одной интересной задаче — волнам кручения. Возьмем длинный стержень и неожиданно закрутим один его конец; вдоль стержня, как показано на фиг. 38.10, а, пойдет волна кручения.
Фиг. 38.10. Волна кручения в стержне (а) и элемент объема стержня (б).
Это явление более интересно, нежели простое статическое скручивание. Посмотрим, можем ли мы понять, как это происходит.
Пусть z — расстояние от некоторой точки до основания стержня. Для статического закручивания момент сил на всем протяжении стержня один и тот же и пропорционален ?/L — полному углу вращения на полную длину. Но в нашей задаче важна местная деформация кручения, которая, как вы сразу поймете, равна ??/?z. Если кручение вдоль стержня неравномерное, то уравнение (38.25) следует заменить таким:
(38.26)
Посмотрим теперь, что же происходит с элементом длины ?z, который показан в увеличенном масштабе на фиг. 38.10, б. На конце 1 маленького отрезка стержня действует момент ?(z), а на конце 2— другой момент сил ?(z+?z). Если величина ?z достаточно мала, то можно воспользоваться разложением в ряд Тэйлора и, сохранив только два члена, написать
(38.27)
Полный момент сил ??, действующий на маленький отрезок стержня между z и ?z, равен разности ?(z) и ?(z+?z), или ??=(??/?z)?z. Дифференцируя уравнение (38.26), получаем
(38.28)
Действие этого полного момента должно вызвать угловое ускорение отрезка стержня. Масса его равна
где ? — плотность материала. В гл. 19 (вып. 2) мы нашли, что момент инерции кругового цилиндра равен mr2/2; обозначая момент инерции нашего отрезка через ?l, получаем
(38.29)
Закон Ньютона говорит нам, что момент силы равен произведению момента инерции на угловое ускорение, или
(38.30)
Собирая теперь все воедино, находим
или
(38.31)
Вы, должно быть, уже узнали, что это такое: это одномерное волновое уравнение. Мы получили, что волны кручения распространяются по стержню со скоростью
(38.32)
Чем плотнее стержень при одной и той же жесткости, тем медленнее движется волна, а чем он жестче, тем волна бежит быстрее. Скорость ее не зависит от диаметра стержня.
Волны кручения представляют частный случай волн сдвига. Волны сдвига в общем случае — это такие волны, при которых деформация не изменяет объема любой части материала. В волнах кручения мы сталкиваемся с особым распределением напряжений сдвига — они распределены по кругу. Но волны при любом распределении напряжений сдвига будут распространяться с одной и той же скоростью, которая определяется формулой (38.32). Сейсмологи, например, обнаружили, что такие волны сдвига распространяются и внутри Земли.
В мире упругих явлений возможен и другой сорт волн внутри твердого материала. Если вы толкнете что-нибудь, то можете возбудить «продольные» волны, так называемые волны «сжатия». Они подобны звуковым волнам в воздухе или в воде, т. е. перемещение вещества в них происходит в ту же сторону, что и распространение волны. (На поверхности упругого тела могут распространяться и другие типы волн, называемые «волнами Рэлея». Деформация в них ни продольная, ни поперечная. Однако у нас нет времени говорить о них подробно.)
Раз уж мы коснулись вопроса о волнах, то какова скорость волн чистого сжатия в большом твердом теле, подобном Земле? Я сказал в «большом», ибо скорость звука в массивном теле отлична от скорости, свойственной, скажем, тонкому стержню. Под массивным телом я подразумеваю тело, поперечные размеры которого много больше длины волны звука. Поэтому, нажимая на такой объект, можно обнаружить, что он не «раздается» в стороны — он может сжиматься только в одном направлении. К счастью, однако, мы уже разобрали специальный случай сжатия «сдавленного» упругого материала, а в гл. 47 (вып. 4) мы познакомились еще со скоростью звука в газе. Рассуждая так же, как и выше, вы можете убедиться, что скорость звука в твердом теле равна ?(Y'/?), где Y' — «продольный модуль», т. е. давление, деленное на относительное изменение длины (для случая «сдавленного» стержня). Равно это просто отношению ?l/l к F/A, полученному нами в уравнении (38.20). Таким образом, скорость продольных волн определяется выражением
(38.33)
Поскольку значение ? заключено между 0 и 1/2, то модуль сдвига ? меньше модуля Юнга Y, а Y', кроме того, больше Y, так что
Это означает, что продольные волны распространяются быстрее, чем волны сдвига. Один из наиболее точных способов определения упругих постоянных вещества дает измерение плотности материала и скоростей двух сортов волн. Из этой информации можно получить как Y, так и ?. Кстати, именно измеряя разность во времени прихода двух сортов волн от землетрясения, сейсмологи только по сигналам, принятым одной станцией, способны установить расстояние до эпицентра.