§ 1. Гидростатика

Кого не пленяет течение жидкости, кто не любуется течением воды! Все мы в детстве любили плескаться в ванне или возиться в грязных лужах. Став постарше, мы восхищались плавным течением реки, водопадами и водоворотами; мы любуемся ими, рядом с твердыми телами они кажутся нам почти одушевленными.

Предметом этой и следующей глав будет поведение жидкости, столь неожиданное и столь интересное. Попытки ребенка преградить путь маленькому ручейку, текущему по улице, и его удивление перед тем, как вода умудряется все же пробить себе дорогу, напоминает наши многолетние попытки понять механизм течения жидкости. Мы пытались мысленно преградить путь воды дамбой, т. е. получить законы и уравнения, которые описывают поток. Рассказу об этих попытках и посвящена настоящая глава. А в следующей главе мы опишем тот уникальный способ, с помощью которого вода прорывает дамбу и ускользает от нас, не дав нам понять ее.

Я предполагаю, что элементарные свойства воды вам уже известны. Основное свойство, которое отличает жидкость от твердого тела, заключается в том, что жидкость не способна сдерживать ни мгновение напряжения сдвига. Если к жидкости приложить напряжение сдвига, то она начинает двигаться. Густые жидкости, подобные меду, движутся менее легко, чем жидкости типа воды или воздуха. Мерой легкости, с которой жидкость течет, является ее вязкость. В этой главе мы рассмотрим такие случаи, когда эффектом вязкости можно пренебречь. А эффекты вязкости отложим до следующей главы.

Начнем с рассмотрения гидростатики, т. е. теории неподвижной жидкости. Если жидкость находится в покое, то на нее не действуют никакие сдвиговые силы (даже в вязкой жидкости). Поэтому закон гидростатики заключается в том, что напряжения внутри жидкости всегда нормальны к любой ее поверхности. Нормальная сила на единичную площадь называется давлением. Из того факта, что в неподвижной жидкости нет сдвигов, следует, что напряжение давления во всех направлениях одинаково (фиг. 40.1).

Фиг. 40.1. В неподвижной жидкости сила, действующая на единичную площадь любой поверхности, перпендикулярна этой поверхности и при любых ориентациях поверхности одна и та же.

Займитесь самостоятельно доказательством того, что если на любой плоскости в жидкости сдвиг отсутствует, то давление во всех направлениях должно быть одинаковым.

Давление в жидкости может изменяться от точки к точке. Так, в неподвижной жидкости на поверхности Земли давление будет изменяться с высотой из-за веса жидкости. Если плотность жидкости ? считается постоянной и давление на некотором нулевом уровне обозначено через р₀ (фиг. 40.2), то давление на высоте h над этой точкой будет р=р₀ -?gh, где g — сила тяжести единицы массы.

Фиг. 40.2. Давление в неподвижной жидкости.

Комбинация р+?gh в неподвижной жидкости остается постоянной. Вы знаете это соотношение, но теперь мы получим более общий результат, где наше соотношение будет лишь частным случаем. Возьмем маленький кубик воды. Какая сила действует на него в результате оказываемого давления? Поскольку давление в любом месте во всех направлениях одинаково, то полная сила, действующая на единицу объема, может быть обусловлена только изменением давления от точки к точке. Предположим, что давление изменяется в направлении оси х, и выберем направления других осей координат параллельно ребрам кубика. Давление на грань с координатой х дает силу p?y?z (фиг. 40.3), а давление на грань с координатой х+?х дает силу—[р+(?р/?х) ?х] ?y?z, так что результирующая сила равна -(?р/?х)?x?y?z.

Фиг. 40.3. Полная сила давления, действующая на куб, составляет -?p на единицу объема.

Если же мы учтем остальные пары граней куба, то нетрудно убедиться, что сила давления на единичный объем равна -?p. Если вдобавок есть еще и другие силы, наподобие силы тяжести, то давление при равновесии должно компенсироваться ими.

Разберем случай, когда такие дополнительные силы можно описать потенциальной энергией, наподобие силы тяжести. Обозначим через ? потенциальную энергию единицы массы. (Для притяжения, например, ? просто равно gz.) Сила, действующая на единичную массу, задаётся через потенциал ? выражением -??, а если плотность жидкости равна ?, то на единицу объема будет действовать сила -???. В состоянии равновесия эта действующая на единичный объем сила в сумме с силой давления должна давать нуль:

(40.1)

Это и есть уравнение гидростатики. В общем случае оно не имеет решения. Если плотность изменяется в пространстве каким-то произвольным образом, то нет возможности уравновесить все силы и жидкость не может находиться в состоянии статического равновесия. В ней возникнут разные конвекционные потоки. Это видно прямо из уравнения, ибо член с давлением представляет чистый градиент, тогда как второй член из-за плотности ? не может быть им. И только когда величина ? постоянна, потенциальный член становится чистым градиентом.

Решение уравнения в этом случае имеет вид

Другая возможность, допускающая состояние равновесия, — это когда ? зависит только от р. Однако на этом мы расстанемся с гидростатикой, ибо она не так интересна, как движущаяся жидкость.