§ 3. Плотность энергии и поток энергии в электромагнитном поле

Идея заключается в том, что должны существовать плотность энергии u и поток S, которые зависят только от полей Е и В. [В электростатике, например, плотность энергии, как мы знаем, можно записать в виде ¹/₂?₀(Е·Е).] Разумеется, u и S могут зависеть от потенциалов и чего-то другого, но давайте лучше посмотрим, что мы можем написать. Попытаемся переписать величину Е·j в таком виде, чтобы она стала суммой двух слагаемых, одно из которых было бы производной по времени от некоторой величины, а второе — дивергенцией. Тогда первую величину мы бы назвали и, а вторую — S (разумеется, с надлежащими знаками). Обе величины должны быть выражены только через поля, т. е. мы хотим записать наше равенство в виде

(27.6)

причем левая часть уравнения должна выражаться только через поля. Как это сделать? Разумеется, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Из уравнения для ротора В имеем

Подставляя это в (27.6), получаем выражение его только через Е и В:

(27.7)

Работа частично нами уже закончена. Последнее слагаемое есть производная по времени — это (?/?t)(¹/₂?₀Е·Е).

Итак, ¹/₂?₀Е·Е должно быть по крайней мере частью u. Такое же выражение получалось у нас и в электростатике. А теперь единственное, что нам остается сделать,— это превратить в дивергенцию чего-то второе слагаемое.

Заметьте, что первое слагаемое в правой части (27.7) переписывается в виде

(27.8)

вы знаете из векторной алгебры, что (a?b)·c равно а·(b?c), поэтому первое слагаемое принимает вид

(27.9)

т. е. получилась дивергенция «чего-то», к которой мы так стремились. Получилась, но только все это неверно! Я предупреждал вас, что оператор ? только «похож» на вектор, а на самом деле он не «настоящий» вектор. Вспомните, что в дифференциальном исчислении существует дополнительное соглашение: когда оператор производной стоит перед произведением, он действует на все стоящее правее него. В уравнении (27.7) оператор ? действует только на В и не затрагивает Е. Но если бы мы записали его в форме уравнения (27.9), то общепринятое соглашение говорило бы, что ? действует как на В, так и на Е. Так что это не одно и то же. В самом деле, если расписать ?·(В?E) по компонентам, то можно убедиться, что оно равно E·(??B) плюс какие-то другие слагаемые. Это напоминает взятие производной от произведения в обычном анализе. Например,

Вместо того чтобы выписать все компоненты ?·(B?E), мне бы хотелось показать вам один трюк, очень полезный в задачах такого рода. Он позволит вам всюду в выражениях, содержащих оператор ?, пользоваться правилами векторной алгебры, не попадая впросак. Трюк состоит в отбрасывании (по крайней мере на время) правил дифференциального исчисления относительно того, на что действует оператор производной. Вы знаете, что порядок сомножителей важен в двух различных случаях. Во-первых, в дифференциальном исчислении: f(d/dx)g не то же самое, что g(d/dx)f; и, во-вторых, в векторной алгебре: a?b отличается от b?а. Мы можем, если захотим, на минуту отказаться от правил дифференциального исчисления. Вместо того чтобы говорить, что производная действует на все стоящее правее от нее, мы примем новое правило, избавляющее нас от порядка, в котором записаны сомножители. После этого мы можем крутить ими, как хотим, без всяких помех.

Вот наше новое правило: с помощью индекса мы будем указывать, на что же именно действует дифференциальный оператор; при этом порядок сомножителей не имеет никакого значения. Допустим, что оператор ?/?x мы обозначили через D. Тогда символ D_f говорит, что берется производная только функции f, т. е.

Но если мы имеем выражение D_ffg, то оно означает

Заметим теперь, что, согласно нашему новому правилу, fD_fg означает то же самое. Одно и то же выражение можно записать любым из следующих способов:

Вы видите, что D_f может стоять даже после всего. (Странно, почему такому удобному обозначению обычно не учат в книгах по математике и физике.)

Вы, пожалуй, удивитесь: а что, если я хочу написать производную от fg? Если мне нужна производная от обоих членов? Это очень легко: вы пишете D_f(fg)+D_g(fg), т.e. g(?f/?x)+f(?g/?x), что в старых обозначениях как раз равно ?(fg)/?x.

Вы сейчас увидите, как просто теперь получить новое выражение для ?·(В?E). Начнем с перехода к новому обозначению и напишем

(27.10)

Как только мы сделали это, уже нет больше нужды придерживаться строгого порядка. Мы всегда знаем, что ?_E действует только на Е, а ?_B действует только на В. При этих обстоятельствах оператором ? можно пользоваться как обычным вектором. (Разумеется, после того как все будет окончено, нам захочется вернуться к «стандартным» обозначениям, которые обычно используются.) Таким образом, теперь мы можем делать различные перестановки сомножителей. Так, средний сомножитель в уравнении (27.10) можно переписать как Е·(?_B?B). [Надеюсь, вы помните, что a·(b?c)=b·(c?a).] А последний — как В·(E??_E). Хотя это выглядит несколько странно, но тем не менее здесь все в порядке. Если же мы теперь попытаемся вернуться к старым обозначениям, то должны будем расположить операторы ? так, чтобы они действовали на свои «собственные» переменные. В первом из них все в порядке, так что мы можем просто опустить индекс у ?. Второй же требует некоторой реорганизации, чтобы оператор ? поставить перед Е. Этого можно добиться, переставляя сомножители в векторном произведении и меняя знак:

Теперь все стоит на своем месте и можно вернуться к обычным обозначениям. Формула (27.10) эквивалентна следующему равенству:

(27.11)

(В этом специальном случае быстрее было бы использовать компоненты, но, право же, стоило потратить время ради того, чтобы показать вам математический трюк. Может случиться, что вы больше нигде его не встретите, а он очень удобен тогда, когда в векторной алгебре нужно освободиться от правила порядка членов при дифференцировании.)

Вернемся теперь к нашему закону сохранения энергии, причем для преобразования ??B в (27.7) мы используем новый результат — равенство (27.11). Вот что оно дает:

(27.12)

Теперь вы видите, что мы почти у цели. Одно из наших слагаемых — настоящая производная по t, ее мы используем при образовании и, а другое (превосходная дивергенция) войдет в S. К несчастью, справа в середине осталось еще одно слагаемое, которое не является ни дивергенцией, ни производной по t. Так что пока еще не все закончено. После некоторых размышлений мы опять обращаемся к уравнениям Максвелла и, к счастью, обнаруживаем, что (??E) равно —?B/?t.

Это позволяет превратить дополнительный член в чистую производную чего-то по времени:

Вот теперь у нас получилось то, что нужно. Уравнение для энергии переписывается в виде

(27.13)

А это, если мы определим u и S как

(27.14)

и

(27.15)

в точности напоминает уравнение (27.6). (Перестановкой сомножителей в векторном произведении мы добиваемся правильного знака.)

Итак, наша программа успешно выполнена. Из выражения для плотности энергии мы видим, что она представляет сумму «электрической» и «магнитной» плотностей энергии, которые в точности равны выражениям, полученным нами в статике, когда мы находили выражение для энергии через поля. Кроме того, мы получили выражение для вектора потока энергии электромагнитного поля. Этот новый вектор S=?₀c²E?B по имени своего первооткрывателя называется «вектором Пойнтинга». Он говорит нам о скорости, с которой энергия движется в пространстве. Энергия, протекающая в секунду через малую поверхность da, равна S·nda, где n — вектор, перпендикулярный к поверхности da. (Теперь, когда у нас есть формулы для u и S, можете, если хотите, забыть все выкладки.)