§ 2. Сферические волны от точечного источника
В гл. 18 мы установили, что уравнения Максвелла можно решать подстановкой
(21.2)
и
(21.3)
где ? и А обязаны удовлетворять уравнениям
(21.4)
и
(21.5)
и, кроме того, условию
(21.6)
Найдем теперь решение уравнений (21.4) и (21.5). Для этого надо уметь решать уравнение
(21.7)
где величина s (которая называется источником) известна. Ясно, что для уравнения (21.4) s соответствует ?/?0, а ? — это ?, а для уравнения (21.5) s соответствует jx/?0с2, если ? — это Ах, и т. д. Но нас интересует чисто математическая задача решения (21.7) безотносительно к тому, каков физический смысл ? и s.
Там, где ? и j равны нулю (это место называется «пустотой»), там потенциалы ? и А и поля Е и В удовлетворяют трехмерному волновому уравнению без источников; математическая форма этого уравнения такова:
(21.8)
В гл. 20 мы видели, что решения этого уравнения могут представлять волны разных сортов: плоские волны, бегущие в x-направлении ?=f(t-x/с); плоские волны, бегущие вдоль у или вдоль z или в любом другом направлении; сферические волны вида
(21.9)
(Решения можно записать иначе — например в виде цилиндрических волн, разбегающихся от оси.)
Мы тогда заметили, что физически формула (21.9) относится не совсем к пустоте: в начале координат должны быть какие-то заряды, иначе расходящаяся волна не получилась бы. Иными словами, формула (21.9) есть решение уравнения (21.8) всюду, кроме непосредственной окрестности точки r=0, где (21.9) представляет собой решение полного уравнения (21.7), в правой части которого стоят источники. Давайте теперь посмотрим, что это за уравнение, т. е. какого рода источник s в уравнении (21.7) должен вызвать волну типа (21.9).
Предположим, что имеется сферическая волна (21.9) и поглядим, во что она превращается при очень малых r. Тогда запаздыванием -r/с в f(t-r/с) можно пренебречь, и поскольку функция f плавная, ? превращается в
(21.10)
Итак, ? в точности похоже на кулоново поле заряда, расположенного в начале координат. Мы знаем, что для небольшого сгустка заряда, ограниченного очень малой областью близ начала координат и имеющего плотность ?,
где Q=??dV. Такой потенциал ? удовлетворяет уравнению
Следуя тем же расчетам, мы должны были бы сказать, что ? из выражения (21.10) удовлетворяет уравнению
(21.11)
где s связано с f формулой
при
Единственная разница в том, что в общем случае s, а, стало быть, и S может оказаться функцией времени.
Далее очень важно то, что если ? удовлетворяет (21.11) при малых r, то оно удовлетворяет также и (21.7). По мере приближения к началу координат зависимость ? от r типа 1/r приводит к тому, что пространственные производные становятся очень большими. А производные по времени остаются теми же. [Это просто производные f(t) по времени.] Так что, когда r стремится к нулю, множителем ?2?/?t2 в уравнении (21.7) по сравнению с ?2? можно пренебречь, и (21.7) становится эквивалентным уравнению (21.11).
Подытоживая, можно сказать, что если функция источника s(t) из уравнения (21.7) сосредоточена в начале координат и ее общая величина равна
(21.12)
то решение уравнения (21.7) имеет вид
(21.13)
Влияние слагаемого с ?2?/?t2 в (21.7) сказывается лишь на появлении запаздывания (t-r/с) в потенциале кулонова типа.