§ 2. Однородная деформация

В качестве первого примера посмотрим, что происходит с прямоугольным бруском при однородном гидростатическом сжатии. Давайте поместим брусок в резервуар с водой. При этом возникнет сила, действующая на каждую грань бруска и пропорциональная его площади (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Брусок под действием равномерного гидростатического давления.

Поскольку гидростатическое давление однородно, то напряжение (сила на единичную площадь) на каждой грани бруска будет одним и тем же. Прежде всего найдем изменение длины бруска. Его можно рассматривать как сумму изменений длин, которые происходили бы в трех независимых задачах, изображенных на фиг. 38.3.

Фиг. 38.3. Гидростатическое давление равно суперпозиции трех сжатий.

Задача 1. Если мы приложим к концам бруска давление р, то деформация сжатия будет отрицательна и равна p/Y:

Задача 2. Если мы надавим на горизонтальные грани бруска, то деформация по высоте будет равна -p/Y, а соответствующая деформация в боковом направлении будет +?p/Y. Мы получаем

Задача 3. Если мы приложим к сторонам бруска давление р, то деформация давления снова будет равна p/Y, но теперь нам нужно определить деформацию длины. Для этого боковую деформацию нужно умножить на -?. Боковая деформация равна

так что

Комбинируя результаты этих трех задач, т. е. записывая ?l как ?l₁+?l₂+?l₃, получаем

(38.6)

Задача, разумеется, симметрична во всех трех направлениях, поэтому

(38.7)

Интересно также найти изменение объема при гидростатическом давлении. Поскольку V=lwh, то для малых перемещений можно записать

Воспользовавшись (38.6) и (38.7), мы имеем

(38.8)

Имеются любители называть ?V/V объемной деформацией и писать

Объемное напряжение р (гидростатическое давление) пропорционально вызванной им объемной деформации — снова закон Гука. Коэффициент К называется объемным модулем и связан с другими постоянными выражением

(38.9)

Поскольку коэффициент К представляет некоторый практический интерес, то во многих справочниках вместо Y и ? приводятся Y и К. Но если вам нужно знать ?, то вы всегда можете получить это значение из формулы (38.9). Из этой формулы видно также, что коэффициент Пуассона ? должен быть меньше ¹/₂. Если бы это было не так, то объемный модуль К был бы отрицательным и материал при увеличении давления расширялся бы. Это позволило бы добывать механическую энергию из любого кубика, т. е. это означало бы, что кубик находится в неустойчивом равновесии. Если бы он начал расширяться, то расширение продолжалось бы само по себе с высвобождением энергии.

Посмотрим, что получится, если мы приложим к чему-то «косое» напряжение. Под косым, или скалывающим, напряжением мы подразумеваем такое воздействие, как показано на фиг. 38.4.

Фиг. 38.4. Однородный сдвиг.

В качестве предварительной задачи посмотрим, какова будет деформация кубика под действием сил, показанных на фиг. 38.5.

Фиг. 38.5. Действие сжимающих сил, давящих на вершину и основание, и равных им растягивающих сил с двух сторон.

Снова можно разделить эту задачу на две: вертикальное давление и горизонтальное растяжение. Обозначая через А площадь грани кубика, мы получаем для изменения горизонтальной длины

(38.10)

Изменение же высоты по вертикали равно просто тому же выражению с обратным знаком.

Предположим теперь, что мы имеем тот же самый кубик, и подвергнем его действию сдвиговых сил, показанных на фиг. 38.6, а.

Фиг. 38.6. Две пары сил сдвига (а) создают то же самое напряжение, что и сжимающие=растягивающие силы (б).

Заметим теперь, что все силы должны быть равными, ибо на тело не должен действовать никакой момент сил и оно должно находиться в равновесии. (Подобные силы должны действовать также и в случае, изображенном на фиг. 38.4, поскольку кубик находится в равновесии. Они обеспечиваются тем, что кубик «приклеен» к столу.) При таких условиях говорят, что кубик находится в состоянии чистого сдвига. Но обратите внимание, что если мы разрежем кубик плоскостями под углом 45°, скажем, вдоль диагонали А на фиг. 38.6, а, то полная сила, действующая в этой плоскости, нормальна к ней и равна ?2G. Площадь, на которой действует эта сила, равна ?2A; следовательно, напряжение, нормальное к этой плоскости, будет просто G/A. Точно так же если взять плоскость, наклоненную под углом 45° в другую сторону, т. е. по диагонали В, то мы увидим, что на ней действует нормальное сдавливающее напряжение, равное -G/A. Из этого ясно, что напряжение при «чистом сжатии» эквивалентно комбинации растягивающего и сжимающего напряжений, направленных под прямым углом друг к другу и под углом 45° к первоначальным граням кубика. Внутренние напряжения и деформации будут такими же, как и в большом кубике материала под действием сил, показанных на фиг. 38.6, б. Но эту задачу мы уже решили. Изменение длины диагонали задается уравнением (38.10):

(38.11)

(Одна диагональ сокращается, а другая удлиняется.)

Часто деформацию сдвига удобно описывать с помощью угла «искажения» кубика ?, показанного на фиг. 38.7.

Фиг. 38.7. Напряжение сдвига ? равно 2?D/D.

Из геометрии фигуры вы видите, что горизонтальный сдвиг ? верхнего края равен ?2?D, так что

(38.12)

Напряжение сдвига g определяется как отношение тангенциальной силы, действующей на грань, к площади грани g=G/A. Воспользовавшись уравнением (38.11), мы из (38.12) получаем

Или, если написать это в форме

(38.13)

Коэффициент пропорциональности ? называется модулем сдвига (или иногда коэффициентом жесткости). Вот как он выражается через Y и ?:

(38.14)

Кстати, модуль сдвига должен быть положительным, иначе мы бы могли получить энергию от самопроизвольного сдвига кубика. Из уравнения (38.14) очевидно, что постоянная ? должна быть больше -1. Теперь мы знаем, что ? заключена между -1 и ¹/₂, но на практике, однако, она всегда больше нуля. В качестве последнего примера состояний подобного типа, когда напряженность постоянна по всему материалу, давайте рассмотрим задачу о бруске, который растягивается и в то же время закреплен таким образом, что боковое сокращение невозможно. (Технически немного легче сжимать брусок и сдерживать бока его от «распирания», но в сущности — это та же самая задача.) Что при этом происходит? На брусок должны действовать боковые силы, которые препятствуют изменению его толщины, — силы, которых мы не знаем непосредственно, но которые следует вычислить. Эта задача того же самого сорта, что мы решали, но только с немного другой алгеброй. Представьте себе силы, действующие на все три стороны, как это показано на фиг. 38.8.

Фиг. 38.8. Растяжение без сокращения бокового размера.

Мы вычислим изменение размеров и подберем такие поперечные силы, чтобы ширина и высота оставались постоянными. Следуя обычным рассуждениям, мы получаем для трех напряжений

(38.15)

(38.16)

(38.17)

Но поскольку по условию ?l_у и ?l_z равны нулю, то уравнения (38.16) и (38.17) дают два соотношения, связывающие F_y и F_z с F_x. Совместно решая их, найдем

(38.18)

а подставляя (38.18) в (38.15), получаем

(38.19)

Это соотношение вы часто можете встретить «перевернутым» и с преобразованным квадратичным полиномом по ?, т. е.

(38.20)

Когда вы удерживаете бока, модуль Юнга умножается на некоторую сложную функцию ?. Из уравнения (38.19) можно сразу же увидеть, что множитель перед Y всегда больше единицы. Растянуть брусок, когда его бока удерживаются, гораздо труднее. Это означает также, что брусок становится жестче, когда его боковые стороны закреплены, нежели когда они свободны.