§ 5. Вычисление упругих постоянных

Последний вопрос в теории упругости, который я разберу, — это попытка вычислить упругие постоянные материала, исходя из некоторых свойств атомов, составляющих этот материал. Мы рассмотрим простой случай ионного кубического кристалла типа хлористого натрия. Размер или форма деформированного кристалла изменяются. Такие изменения приводят к увеличению потенциальной энергии кристалла. Для вычисления изменения энергии деформации следует знать, куда идет каждый атом. Чтобы сделать полную энергию как можно меньше, атомы в решетке сложных кристаллов перегруппировываются весьма сложным образом. Это довольно сильно затрудняет вычисление энергии деформации. Но понять, что получается в случае простого кубического кристалла, все-таки можно. Возмущения внутри кристалла будут геометрически подобны возмущениям его внешних граней.

Упругие постоянные кубического кристалла можно вычислить следующим образом. Прежде всего мы предположим наличие некоего закона взаимодействия между каждой парой атомов в кристалле. Затем вычислим изменение внутренней энергии кристалла при отклонении от равновесной формы. Это даст нам соотношения между энергией и деформацией, которая квадратична по деформациям. Сравнивая энергию, полученную таким способом, с уравнением (39.13), можно идентифицировать коэффициенты при каждом слагаемом с упругими постоянными C_ijkl.

В нашем примере мы будем предполагать следующий простой закон взаимодействия: между соседними атомами действуют центральные силы, имея в виду, что они действуют по линии, соединяющей два соседних атома. Мы ожидаем, что силы в ионных кристаллах должны быть именно такого типа, ибо в основе их лежит простое кулоновское взаимодействие. (При ковалентной связи силы обычно более сложны, ибо они приводят и к боковому давлению на соседние атомы; но нам все эти усложнения ни к чему.) Кроме того, мы собираемся учесть только силу взаимодействия каждого атома с ближайшим к нему и следующими поблизости соседями. Другими словами, мы будем делать приближение, в котором пренебрежем силами между далекими атомами. На фиг. 39.10,а показаны силы в плоскости ху, которые мы будем учитывать. Следует еще учесть соответствующие силы в плоскостях yz и zx.

Поскольку нас интересуют только упругие постоянные, которые описывают малые деформации, и, следовательно, в выражении для энергии нам нужны только слагаемые, квадратичные по деформациям, то можно считать, что силы между каждой парой атомов изменяются с перемещением линейно.

Фиг. 39.10. Принимаемые нами в расчет межатомные силы (а) и модель, в которой атомы связаны пружинками (б).

Поэтому для наглядности можно представлять, что каждая пара атомов соединена «линейной» пружинкой (фиг. 39.10, б). Все пружинки между атомами натрия и хлора должны иметь одну и ту же упругую постоянную, скажем k₁. Пружинки между двумя атомами натрия и двумя атомами хлора могут иметь различные постоянные, но я хочу упростить наши рассуждения, и поэтому буду считать эти постоянные равными. Обозначим их через k₂. (Позднее, когда мы посмотрим, как пойдут вычисления, вы сможете вернуться назад и сделать их разными.)

Предположим теперь, что кристалл возмущен однородной деформацией, описываемой тензором e_ij. В общем случае у него будут компоненты, содержащие х, у и z, но мы для большей наглядности рассмотрим только деформации с тремя компонентами: е_хх, е_xy и е_yy. Если один из атомов выбрать в качестве начала координат, то перемещение любого другого атома задается уравнением типа (39.9):

(39.42)

Назовем атом с координатами х=у=0 «атомом 1», а номера его соседей показаны на фиг. 39.11.

Фиг, 39.11. Перемещение ближайших и следующих поблизости соседей атома 1. (Масштаб сильно искажен.)

Обозначая постоянную решетки через а, мы получаем х- и y-компоненты перемещения u_x, u_y, выписанные в табл. 39.1.

Таблица 39.1. КОМПОНЕНТЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ u_x, u_у

Теперь можно вычислить энергию, запасенную в пружинках, которая равна произведению k²/2 на квадрат растяжения каждой пружинки. Так, энергия горизонтальной пружинки между атомами 1 и 2 будет равна

(39.43)

Заметьте, что с точностью до первого порядка y-перемещение атома 2 не изменяет длины пружинки между атомами 1 и 2. Однако, чтобы получить энергию деформации диагональной пружинки, той, что идет к атому 3, нам нужно вычислить изменение длины как из-за вертикального, так и из-за горизонтального перемещений. Для малых отклонений от начала координат куба изменение расстояния до атома 3 можно записать в виде суммы компонент u_х и u_v в диагональном направлении:

Воспользовавшись величинами u_х и u_y. можно получить выражение для энергии

(39.44)

Для полной энергии всех пружинок в плоскости ху нам нужна сумма восьми членов типа (39.43) и (39.44). Обозначая эту энергию через U₀, получаем

(39.45)

Чтобы найти полную энергию всех пружинок, связанных с атомом 1, мы должны сделать некую добавку к уравнению (39.45). Хотя нам нужны только х- и y-компоненты деформации, вклад в них дает еще некоторая добавочная энергия, связанная с диагональными соседями вне плоскости ху. Эта добавочная энергия равна

(39.46)

Упругие постоянные связаны с плотностью энергии w уравнением (39.13). Энергия, которую мы вычислили, связана с одним атомом, точнее это удвоенная энергия, приходящаяся на один атом, ибо на каждый из двух атомов, соединенных пружинкой, должно приходиться по ¹/₂ ее энергии. Поскольку в единице объема находится 1/a³ атомов, то w и U₀ связаны соотношением

Чтобы найти упругие постоянные C_ijkl, нужно только возвести в квадрат суммы в скобках в уравнении (39.45), прибавить (39.46) и сравнить коэффициенты при е_ijе_kl с соответствующими коэффициентами в уравнении (39.13). Например, собирая слагаемые с е²_xx и е²_yy, мы находим, что множитель при нем равен

поэтому

В остальных слагаемых нам встретится небольшое усложнение. Поскольку мы не можем отличить произведения е_ххе_yy от е_yyе_хх, то коэффициент при нем в выражении для энергии равен сумме двух членов в уравнении (39.13). Коэффициент при е_ххе_yy в уравнении (39.45) равен 2k₂, так что получаем

Однако из-за симметрии выражения для энергии при перестановке двух первых значений с двумя последними можно считать, что С_кхуу=С_уухх, поэтому

Таким же способом можно получить

Заметьте, наконец, что любой член, содержащий один раз значок х или у, равен нулю, как это было найдено ранее из соображений симметрии. Подытожим наши результаты:

(39.47)

Итак, оказалось, что мы способны связать макроскопические упругие постоянные с атомными свойствами, которые проявляются в постоянных k₁ и k₂. В нашем частном случае C_хуxу=C_ххуу.Эти члены для кубического кристалла, как вы, вероятно, заметили из хода вычислений, оказываются всегда равными, какие бы силы мы ни принимали во внимание, но только при условии, что силы действуют вдоль линии, соединяющей каждую пару атомов, т. е. до тех пор, пока силы между атомами подобны пружинкам и не имеют боковой составляющей (которая несомненно существует при ковалентной связи).

Наши вычисления можно сравнить с экспериментальными измерениями упругих постоянных. В табл. 39.2 приведены наблюдаемые величины трех упругих коэффициентов для некоторых кубических кристаллов[59]. Вы, вероятно, обратили внимание на то, что С_xxyy, вообще говоря, не равно С_xyxy. Причина заключается в том, что в металлах, подобных натрию и калию, межатомные силы не направлены по линии, соединяющей атомы, как предполагалось в нашей модели. Алмаз тоже не подчиняется этому закону, ибо силы в алмазе — это ковалентные силы, которые обладают особым свойством направленности: «пружинки» предпочитают связывать атомы, расположенные в вершинах тетраэдра. Такие ионные кристаллы, как фтористый литий или хлористый натрий и т. д., обладают почти всеми физическими свойствами, предположенными в нашей модели; согласно данным табл. 39.2, постоянные С_xxyy и С_xyxy у них почти равны. Только хлористое серебро почему-то не хочет подчиняться условию С_ххуу=C_xyxy..

Таблица 39.2. упругие постоянные КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛОВ