§ 2. Электрический ток; сохранение заряда

Подумаем теперь о том, почему магнитные силы действуют на провода, по которым течет электрический ток. Для этого определим, что понимается под плотностью тока. Электрический ток состоит из движущихся электронов или других зарядов, которые образуют результирующее течение, или поток. Мы можем представить поток зарядов вектором, определяющим количество зарядов, которое проходит в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную потоку (точь-в-точь как мы это делали, определяя поток тепла). Назовем эту величину плотностью тока и обозначим ее вектором j. Он направлен вдоль движения зарядов. Если взять маленькую площадку ?а в данном месте материала, то количество зарядов, текущее через площадку в единицу времени, равно

(13.2)

где n — единичный вектор нормали к ?а.

Плотность тока связана со средней скоростью течения зарядов. Предположим, что имеется распределение зарядов, в среднем дрейфующих со скоростью v. Когда это распределение проходит через элемент поверхности ?а, то заряд ?q, проходящий через ?а за время ?t, равен заряду, содержащемуся в параллелепипеде с основанием ?а и высотой v?t (фиг. 13.2).

Фиг. 13.2. Если распределение зарядов с плотностью ? движется со скоростью v, то количество заряда, проходящее в единицу времени через площадку ?а, есть ?v·n?а.

Объем параллелепипеда есть произведение проекции ?а, перпендикулярной к v, на v?t, а умножая его на плотность зарядов ?, получаем ?q. Таким образом,

Заряд, проходящий в единицу времени, тогда равен ?v·n?а, откуда получаем

(13.3)

Если распределение зарядов состоит из отдельных зарядов, скажем электронов с зарядом q, движущихся со средней скоростью v, то плотность тока равна

(13.4)

где N — число зарядов в единице объема.

Полное количество заряда, проходящее в единицу времени через какую-то поверхность S, называется электрическим током I. Он равен интегралу от нормальной составляющей потока по всем элементам поверхности (фиг. 13.3):

(13.5)

Фиг. 13.3. Ток I через поверхность S равен ?j·nda

Ток I из замкнутой поверхности S представляет собой скорость, с которой заряды покидают объем V, окруженный поверхностью S. Один из основных законов физики говорит, что электрический заряд неуничтожаем; он никогда не теряется и не создается. Электрические заряды могут перемещаться с места на место, но никогда не возникают из ничего. Мы говорим, что заряд сохраняется. Если из замкнутой поверхности возникает результирующий ток, то количество заряда внутри должно соответственно уменьшаться (фиг. 13.4).

Фиг. 13.4. Интеграл от j·n по замкнутой поверхности равен скорости изменения полного заряда Q внутри.

Поэтому мы можем записать закон сохранения заряда в таком виде:

(13.6)

Заряд внутри можно записать как объемный интеграл от плотности заряда

(13.7)

Применяя (13.6) к малому объему ?V, можно учесть, что интеграл слева есть ?·j?V. Заряд внутри равен ??V, поэтому сохранение заряда можно еще записать и так:

(13.8)

(опять теорема Гаусса из математики!).