§ 4. E=-∇φ

С какой стати нас заинтересовал потенциал ?? Силы, действующие на заряды, даются величиной Е — электрическим полем. Вся соль в том, что Е из ? очень легко получить, не труднее, чем вычислить производную. Рассмотрим две точки с одинаковыми у и z, но с разными х: у одной х, у другой x+?x; поинтересуемся, какую работу надо совершить, чтобы перенести единичный заряд из одной точки в другую. Путь переноса — горизонтальная линия от х до х+?х. Работа равна разности потенциалов в двух точках

Но работа против действия силы на том же отрезке равна

Мы видим, что

(4.26)

Равным образом, Е_у=-??/?y, E_z=-??/?z; все это в обозначениях векторного анализа можно подытожить так:

(4.27)

Это дифференциальная форма уравнения (4.22). Любую задачу, в которой заряды заданы, можно решить, вычислив по (4.24) или (4.25) потенциал и рассчитав по (4.27) поле. Уравнение (4.27) согласуется также с тем, что получается в векторном анализе: с тем, что для любого скалярного поля

(4.28)

Согласно уравнению (4.25), скалярный потенциал ? представляется трехмерным интегралом, подобным тому, который мы писали для Е. Есть ли какая выгода в том, что вместо Е вычисляется ?? Да. Для вычисления ? нужно взять один интеграл, а для вычисления Е — три (ведь это вектор). Кроме того, обычно 1/r интегрировать легче, чем x/r³. Во многих практических случаях оказывается, что для получения электрического поля легче сперва подсчитать ?, а после взять градиент, чем вычислять три интеграла для Е. Это просто вопрос удобства.

Но потенциал ? имеет и глубокий физический смысл. Мы показали, что Е закона Кулона получается из Е=-grad?, где ? дается уравнением (4.22). Но если Е — это градиент скалярного поля, то, как известно из векторного исчисления, ротор Е должен обратиться в нуль:

(4.29)

Но это и есть наше второе основное уравнение электростатики — уравнение (4.6). Таким образом, мы показали, что закон Кулона дает поле Е, удовлетворяющее этому условию. Так что до сих пор все в порядке.

На самом деле то, что ??Е равно нулю, было доказано еще до того, как мы определили потенциал. Мы показали, что работа обхода по замкнутому пути равна нулю, т. е.

по любому пути. Мы видели в гл. 3, что в таком поле ??Е должно быть всюду равно нулю. Электрическое поле электростатики — это поле без роторов.

Вы можете потренироваться в векторном исчислении, доказав равенство нулю вектора ??Е другим способом, т. е. вычислив компоненты вектора ??Е для поля точечного заряда по формулам (4.11). Если получится нуль, то принцип наложения обеспечит нам обращение ??Е в нуль для любого распределения зарядов.

Следует подчеркнуть важный факт. Для любой радиальной силы выполняемая работа не зависит от пути и существует потенциал. Если вы вдумаетесь в это, то увидите, что все наши доказательства того, что интеграл работы не зависит от пути, сами определялись только тем, что сила от отдельного заряда была радиальна и сферически симметрична. То, что зависимость силы от расстояния имела вид 1/r², не имело никакого значения, при любой зависимости от r получилось бы то же самое. Существование потенциала и обращение в нуль ротора Е вытекают на самом деле только из симметрии и направленности электростатических сил. По этой причине уравнение (4.28) или (4.29) может содержать в себе только часть законов электричества.