§ 2. Импульс поля движущегося заряда
Возьмем равномерно движущийся электрон и предположим на минуту, что скорость его мала по сравнению со скоростью света. С таким движущимся электроном всегда связан какой-то импульс — даже если у электрона до того, как он был заряжен, не было никакой массы — это импульс электромагнитного поля. Мы покажем, что для малых скоростей он пропорционален скорости v и совпадает с ней по направлению. В точке Р, находящейся на расстоянии r от центра заряда и под углом ? к линии его движения (фиг. 28.1), электрическое поле радиально, а магнитное, как мы видели, равно v?E/c2.
Фиг. 28.1. Поля Е и В и плотность импульса g для положительного электрона. Для отрицательного электрона поля Е и В повернуты в обратную сторону, но g остается тем же.
Плотность же импульса, в соответствии с формулой (27.21), будет
Она обязательно направлена по линии движения, как это видно из рисунка, и по величине равна
Поле симметрично относительно линии движения заряда, поэтому поперечные компоненты дадут в сумме нуль, и полученный в результате импульс будет параллелен скорости v. Величину составляющей вектора g в этом направлении, равную gsin?, нужно проинтегрировать по всему пространству. В качестве элемента объема возьмем кольцо, плоскость которого перпендикулярна v (фиг. 28.2).
Фиг. 28.2. Элемент объема 2?r2sin?d?dr, используемый при вычислении импульса поля.
Объем его равен 2?r2sin?d?dr. Полный импульс будет при этом
Поскольку Е не зависит от угла ? (для v?c), то по углу можно немедленно проинтегрировать:
Интегрирование по ? ведется в пределах от 0 до ?, так что этот интеграл дает просто множитель 4/3, т. е.
А такой интеграл (для v?с) мы только что вычисляли, чтобы найти энергию; он равен q2/16?2?02a, так что
или
(28.3)
Импульс поля, т. е. электромагнитный импульс, оказался пропорциональным v. В частности, тоже самое выражение получилось бы для частицы с массой, равной коэффициенту пропорциональности при v. Вот почему этот коэффициент пропорциональности мы можем назвать электромагнитной массой mэм, т. е. положить
