§ 5. Потенциалы движущегося заряда; общее решение Льенара и Вихерта

В предыдущем параграфе мы пошли на упрощение при вычислении интеграла для А, рассматривая только небольшие скорости. Но при этом мы шли таким путем, которым легко можно прийти и к новым выводам. Поэтому сейчас мы заново предпримем расчет потенциалов точечного заряда, движущегося уже, как ему захочется (даже с релятивистской скоростью). Как только мы получим этот результат, у нас в руках окажутся электромагнитные свойства электрических зарядов во всей их полноте. Даже формулу (21.1') можно будет тогда легко получить, взяв только нужные производные. И наш рассказ удастся, наконец, довести до конца. Итак, запаситесь терпением!

Попробуем подсчитать в точке (х₁, у₁, z₁) скалярный потенциал ?(1), создаваемый точечным зарядом (вроде электрона), движущимся любым, каким угодно образом. Под «точечным» зарядом подразумевается очень маленький заряженный шарик, такой маленький, как только можно себе представить, с плотностью заряда ?(х, у, z). Потенциал ? можно найти из (21.15):

(21.28)

На первый взгляд кажется (и почти все так и подумают), что ответ состоит в том, что интеграл от ? по такому «точечному» заряду равен просто общему заряду q, т. е. что

Через r'₁₂ здесь обозначен радиус-вектор от заряда в точке (2) к точке (1), измеренный в более раннее время (t—r₁₂/c). Эта формула ошибочна.

Правильный ответ такой:

(21.29)

где v_r' — компонента скорости заряда, параллельная r₁₂, т. е. направленная к точке (1). Сейчас я объясню, почему это так. Чтобы легче было следить за моими доводами, я сперва проведу расчет для «точечного» заряда в форме небольшого заряженного кубика, который движется к точке (1) со скоростью v (фиг. 21.5).

Фиг. 21.5. «Точечный» заряд (рассматриваемый как небольшое распределение зарядов в форме куба), движущийся со скоростью v к точке (1).

Сторона куба будет а, это число пусть будет много меньше r₁₂ [расстояния от центра заряда до точки (1)].

Чтобы оценить величину интеграла (21.28), мы вернемся к основному определению: запишем его в виде суммы

(21.30)

где r_i — расстояние от точки (1) к i-му элементу объема ?V_i, а ?_i-— плотность заряда в ?V_i в момент t_i=(t-r_i/с). Поскольку все r_i?а, удобно будет выбрать все ?V_i в виде тонких прямоугольных ломтиков, перпендикулярных к r₁₂ (фиг. 21.6).

Фиг. 21.6. Элемент объема ?V_i, используемый для вычисления потенциалов.

Предположим, что мы начали с того, что взяли элементы объема ?V_i некоторой толщины w, много меньшей а.

Отдельные элементы объема будут выглядеть так, как показано на фиг. 21.7, а. Их нарисовано гораздо больше, чем нужно, чтобы закрыть весь заряд. А сам заряд не показан, и по весьма существенной причине. Где его нужно нарисовать? Ведь для каждого элемента объема ?V_i надо брать ? в свой момент t_i=(t-r_i/с). Но раз заряд движется, то для каждого элемента объема ?V_i он окажется в другом месте!

Фиг. 21.7. Интегрирование ?(t-r'/c)dV для движущегося заряда.

Начнем, скажем, с элемента объема 1 на фиг. 21.7, а, выбранного так, чтобы в момент t₁=(t-r₁/с) «задняя» грань заряда пришлась на ?V_i (фиг, 21.7, б). Тогда, вычисляя ?₂?V₂, нужно взять положение заряда в несколько более позднее время t₂=(t- r₂/c) и заряд к этому времени сместится в положение, показанное на фиг. 21.7, в. Так же будет с ?V₃, ?V₄ и т. д. Вот теперь можно подсчитывать сумму.

Толщина каждого ?V_i равна w, а объем wa². Поэтому каждый элемент объема, накладывающийся на распределение заряда, содержит в себе заряд wa²?, где ? — плотность заряда внутри куба (мы считаем ее однородной). Когда расстояние от заряда до точки (1) велико, то можно все r_i в знаменателях положить равными некоторому среднему значению, скажем, взятому с учетом запаздывания положению r' центра куба. Сумма (21.30) превращается в

где ?V_N—тот последний элемент ?V_i, который еще накладывается на распределение зарядов (см. фиг. 21.7, д). Сумма тем самым равна

Но ?a³ — просто общий заряд q, а Nw—длина b, показанная на фиг. 21.7, д. Получается

(21.31)

А чему же равно b? Это длина куба зарядов, увеличенная на расстояние, пройденное зарядом за время от t₁=(t-r₁/с) до t_N=(t—r_N/с). Это расстояние, пройденное зарядом за время

А поскольку скорость заряда равна v, то пройденное расстояние равно v?t=vb/c. Но длина b — само это расстояние плюс a:

Отсюда

Здесь, конечно, под v подразумевается скорость в «запаздывающий» момент t'=(t-r'/с); это можно указать, записав [1—v/c]_зап; тогда уравнение (21.23) для потенциала принимает вид

Это согласуется с тем, что было предположено в (21.29). Появился поправочный множитель. Он появился потому, что в то время, как наш интеграл «проносится над зарядом», сам заряд движется. Когда заряд движется к точке (1), его вклад в интеграл увеличивается в b/а раз. Поэтому правильное значение интеграла равно q/r', умноженному на b/а, т.е. на 1/[1—v/c]_зап.

Если скорость заряда направлена не к точке наблюдения (1), то легко видеть, что важна только составляющая его скорости в направлении к точке (1). Если обозначить эту составляющую скорости через v_r, то поправочный множитель запишется в виде 1/[1-v_r/с]_зап. Кроме того, проделанный нами анализ в равной степени проходит для распределения заряда любой формы (это не обязательно должен быть куб). Наконец, поскольку «размер» а заряда не вошел в окончательный итог, то тот же результат получится, если заряд стянется до любых размеров, вплоть до точки. Общий результат состоит в том, что скалярный потенциал точечного заряда, движущегося с произвольной скоростью, равен

(21.32)

Это уравнение часто пишут в эквивалентном виде:

(21.33)

где r — вектор, соединяющий заряд с той точкой (1), в которой вычисляется потенциал ?, а все величины в скобках надо вычислять в «запаздывающий» момент времени t'=(t—r'/c).

То же самое получается и тогда, когда по (21.16) вычисляют А для точечного заряда. Плотность тока равна ?v, а интеграл от ? — тот же, что и в ?. Векторный потенциал равен

(21.34)

Потенциалы точечного заряда в этой форме были впервые получены Льенаром и Вихертом. Их так и называют: потенциалы Льенара — Вихерта.

Чтобы замкнуть круг и вернуться к формуле (21.1), теперь нужно только подсчитать Е и В из этих потенциалов (при помощи B=??A и Е=-??-?A/?t). Теперь остается одна арифметика. Впрочем, арифметика эта довольно запутанна, так что мы не будем приводить здесь детали счета. Придется поверить мне на слово, что формула (21.1) эквивалентна выведенным нами потенциалам Льенара — Вихерта[29].