§ 6. Решение уравнений Максвелла; потенциалы и волновое уравнение
Теперь стоило бы заняться немного математикой; мы запишем уравнения Максвелла в более простой форме. Вы, пожалуй, сочтете, что мы усложняем их, но если вы наберетесь терпения, то внезапно обнаружите их большую простоту. Хотя вы уже вполне привыкли к каждому из уравнений Максвелла, имеется все же много частей, которые стоит соединить воедино. Вот как раз этим мы и займемся.
Начнем с ?·В=0 — простейшего из уравнений. Мы знаем, что оно подразумевает, что В — есть ротор чего-то. Поэтому, если вы записали
(18.16)
то считайте, что уже решили одно из уравнений Максвелла. (Между прочим, заметьте, что оно остается верно для другого вектора А', если A'=A+??, где ?— любое скалярное поле, потому что ротор ?? — нуль и В — по-прежнему то же самое. Мы говорили об этом раньше.)
Теперь разберем закон Фарадея ??E=-?B/?t, потому что он не содержит никаких токов или зарядов. Если мы запишем В как ??A и продифференцируем по t, то сможем переписать закон Фарадея в форме
Поскольку мы можем дифференцировать сначала либо по времени, либо по координатам, то можно написать это уравнение также в виде
(18.17)
Мы видим, что Е+?A/?t — это вектор, ротор которого равен нулю. Поэтому такой вектор есть градиент чего-то. Когда мы занимались электростатикой, у нас было ??E=0, и мы тогда решили, что Е — само градиент чего-то. Пусть это градиент от -? (минус для технических удобств). То же самое сделаем и для E+?A/?t; мы полагаем
(18.18)
Мы используем то же обозначение ?, так что в электростатическом случае, когда ничто не меняется со временем и ?A/?t исчезает, Е будет нашим старым -??. Итак, закон Фарадея можно представить в форме
(18.19)
Мы уже решили два из уравнений Максвелла и нашли, что для описания электромагнитных полей Е и В нужны четыре потенциальные функции: скалярный потенциал ? и векторный потенциал А, который, разумеется, представляет три функции.
Итак, А определяет часть Е, так же как и В. Что же произойдет, когда мы заменим А на A'=A+??? В общем, Е должно было бы измениться, если не принять особых мер. Мы можем, однако, допустить, что А изменяется так, чтобы не влиять на поля Е и В (т. е. не меняя физики), если будем всегда изменять А и ? вместе по правилам
(18.20)
Тогда ни В, ни Е, полученные из уравнения (18.19), не меняются.
Раньше мы выбирали ?·А=0, чтобы как-то упростить уравнения статики. Теперь мы не собираемся так поступать; мы хотим сделать другой выбор. Но подождите немного, прежде чем мы скажем, какой это выбор, потому что позднее станет ясно, почему вообще делается выбор.
Сейчас мы вернемся к двум оставшимся уравнениям Максвелла, которые свяжут потенциалы и источники ? и j. Раз мы можем определить А и ? из токов и зарядов, то можно всегда получить Е и В из уравнений (18.16) и (18.19) и мы будем иметь другую форму уравнений Максвелла.
Начнем с подстановки уравнения (18.19) в ?·E=?/?0; получаем
это можно записать еще в виде
(18.21)
Таково первое уравнение, связывающее ? и А с источниками.
Наше последнее уравнение будет самым трудным. Мы начнем с того, что перепишем четвертое уравнение Максвелла:
а затем выразим В и Е через потенциалы, используя уравнения (18.16) и (18.19):
Первый член можно переписать, используя алгебраическое тождество ??(??A)=? (?·A)-?2A; мы получаем
(18.22)
Не очень-то оно простое!
К счастью, теперь мы можем использовать нашу свободу в произвольном выборе дивергенции А. Сейчас мы собираемся сделать такой выбор, чтобы уравнения для А и для ? разделились, но имели одну и ту же форму. Мы можем сделать это, выбирая[25]
(18.23)
Когда мы поступаем так, то второе и третье слагаемые в уравнении (18.22) погашаются, и оно становится много проще:
(18.24)
И. наше уравнение (18.21) для ? принимает такую же форму:
(18.25)
Какие красивые уравнения! Они великолепны прежде всего потому, что хорошо разделились — с плотностью заряда стоит ?, а с током стоит А. Далее, хотя левая сторона выглядит немного нелепо — лапласиан вместе с (?/?t)2, когда мы раскроем ее, то обнаружим
(18.26)
Это уравнение имеет приятную симметрию по х, у, z, t; здесь (-1/с2) нужно, конечно, потому, что время и координаты различаются; у них разные единицы.
Уравнения Максвелла привели нас к нового типа уравнению для потенциалов ? и А, но с одной и той же математической формой для всех четырех функций ?, Ах, Ау и Аz. Раз мы научились решать эти уравнения, то можем получить В и Е из ??E и-??-?A/?t. Мы приходим к другой форме электромагнитных законов, в точности эквивалентной уравнениям Максвелла; с ними во многих случаях обращаться гораздо проще.
Фактически мы уже решали уравнение, весьма похожее на (18.26). Когда мы изучали звук в гл. 47 (вып. 4), мы имели уравнение в форме
и видели, что оно описывает распространение волн в x-направлении со скоростью с. Уравнение (18.26) это соответствующее волновое уравнение для трех измерений. Поэтому в области, где больше нет зарядов и токов, решение этих уравнений не означает, что ? и А — нули. (Хотя на самом деле нулевое решение есть одно из возможных решений.) Имеются решения, представляющие некоторую совокупность ? и А, которые меняются со временем, но всегда движутся со скоростью с. Поля передвигаются вперед через свободное пространство, как в нашем примере в начале главы.
С новым членом, добавленным Максвеллом в уравнение IV, мы смогли записать полевые уравнения в терминах А и ? в форме, которая проста и сразу же позволяет выявить существование электромагнитных волн. Для многих практических целей еще будет удобно использовать первоначальные уравнения в терминах Е и В. Но они — по ту сторону горы, на которую мы уже вскарабкались. Теперь мы можем посмотреть вокруг. Все будет выглядеть иначе — нас ожидают новые, прекрасные пейзажи.