§ 5. Энергия

Мы видели, что для создания в индуктивности тока I надо из внешней цепи доставить энергию U=¹/₂LI². Когда ток спадает до нуля, эта энергия уводится обратно во внешнюю цепь.

В идеальной индуктивности механизма потерь энергии нет. Когда через индуктивность течет переменный ток, энергия перетекает то туда, то сюда — от индуктивности к остальной части цепи и обратно, но средняя скорость, с какой энергия передается в цепь, равна нулю. Мы говорим, что индуктивность — недиссипативный элемент, в ней не растрачивается (не «диссипирует») электрическая энергия.

Точно так же возвращается во внешнюю цепь и энергия конденсатора U=¹/₂СV², когда он разряжается. Когда он стоит в цепи переменного тока, то энергия течет то в него, то из него, но полный поток энергии за каждый цикл равен нулю. Идеальный конденсатор — тоже недиссипативный элемент.

Мы знаем, что э. д. с.— это источник энергии. Когда ток I течет в направлении э.д.с., то энергия поставляется во внешнюю цепь со скоростью dU/dt=?I. Если электричество гонят против э.д.с. (с помощью других генераторов), то э. д. с. поглощает энергию со скоростью ?I; поскольку I отрицательно, то и dU/dt отрицательно.

Если генератор подключен к сопротивлению R, то ток через сопротивление равен I=?/R. Энергия, поставляемая генератором со скоростью ?I, поглощается сопротивлением. Эта энергия тратится на нагрев сопротивления и для электрической энергии цепи фактически уже потеряна. Мы говорим, что электрическая энергия рассеивается, диссипирует в сопротивлении. Скорость, с какой она рассеивается, равна dU/dt=RI².

В цепи переменного тока средняя скорость потерь энергии в сопротивлении — это среднее значение RI² за цикл. Поскольку I=^Ie^i?t (что, собственно, означает, что I меняется как cos?t), то среднее значение I² за цикл равно |^I|²/2, потому что ток в максимуме — это |^I|, а среднее значение cos²?t равно ¹/₂.

А что можно сказать о потерях энергии, когда генератор подключен к произвольному импедансу z? (Под «потерями» мы, конечно, понимаем превращение электрической энергии в тепловую.) Всякий импеданс z может быть разбит на действительную и мнимую части, т. е.

(22.24)

где R и X — числа действительные. С точки зрения эквивалентных схем можно сказать, что всякий импеданс эквивалентен сопротивлению, последовательно соединенному с чисто мнимым импедансом, называемым реактансом (фиг. 22.17).

Фиг. 22.17. Любой импеданс эквивалентен последовательному соединению чистого сопротивления и чистого реактанса.

Мы уже видели раньше, что любая цепь, содержащая только L и C, обладает импедансом, выражаемым чисто мнимым числом. А раз в любом из L и С в среднем никаких потерь не бывает, то и в чистом реактансе, в котором имеются только L и С, потерь энергии не бывает. Можно показать, что это должно быть верно для всякого реактанса.

Если генератор с э. д. с. ? подсоединен к импедансу z (см. фиг. 22.17), то его э. д. с. должна быть связана с током I из генератора соотношением

(22.25)

Чтобы найти, с какой средней скоростью подводится энергия, нужно усреднить произведение ?I. Но теперь следует быть осторожным. Оперируя с такими произведениями, надо иметь дело только с действительными величинами ?(t) и I(t). (Действительные части комплексных функций изображают настоящие физические величины только тогда, когда уравнения линейны; сейчас же речь идет о произведении, а это, несомненно, вещь нелинейная.)

Пусть мы начали отсчитывать t так, что амплитуда ^I оказалась действительным числом, скажем I₀; тогда истинное изменение I во времени дается формулой

Входящая в уравнение (22.25) э.д.с. — это действительная часть от

или

(22.26)

Два слагаемых в (22.26) представляют падение напряжений на R и X (см. фиг. 22.17). Мы видим, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, тогда как падение напряжения на чисто реактивной части находится с током в противофазе.

Средняя скорость потерь энергии <Р>_ср, текущей от генератора, есть интеграл от произведения ?I за один цикл, деленный на период Т; иными словами,

Первый интеграл равен ¹/₂I₀²R, а второй равен нулю. Стало быть, средняя потеря энергии в импедансе z=R+iX зависит лишь от действительной части z и равна I₀²R/2. Это согласуется с нашим прежним выводом о потерях энергии в сопротивлении. В реактивной части потерь энергии не бывает.