§ 6. Взаимная индукция

Теперь нам нужно рассмотреть случай, когда проволочные катушки неподвижны, а меняются магнитные поля. Описывая образование магнитного поля токами, мы рассматривали только случай постоянных токов. Но если токи меняются медленно, магнитное поле в каждый момент будет примерно такое же, как магнитное поле постоянного тока. Мы будем считать в этом параграфе, что токи всегда меняются достаточно медленно, и можно сказать, что это утверждение справедливо.

На фиг. 17.8 показано устройство из двух катушек, с помощью которого можно продемонстрировать основные эффекты, ответственные за работу трансформатора.

Фиг. 17.8. Ток в катушке 1 создает магнитное поле, проходящее через катушку 2.

Катушка 1 состоит из проводящей проволоки, свитой в виде длинного соленоида. Вокруг этой катушки и изолированно от нее навита катушка 2, состоящая из нескольких витков проволоки. Если теперь по катушке 1 пропустить ток, то, как мы знаем, внутри нее появится магнитное поле. Это магнитное поле проходит также сквозь катушку 2. Когда ток в катушке 1 меняется, магнитный поток тоже будет меняться, и в катушке 2 появится индуцированная э.д.с. Эту индуцированную э.д.с. мы сейчас и вычислим.

В гл. 13, § 5 (вып. 5) мы видели, что магнитное поле внутри длинного соленоида однородно и равно

(17.23)

где N₁ — число витков в катушке 1, I₁ — ток в ней, а l — её длина. Пусть поперечное сечение катушки 1 равно S, тогда поток поля В равен его величине, умноженной на S. Если в катушке 2 имеется N₂ витков, то поток проходит по катушке N₂ раз. Поэтому э. д. с. в катушке 2 дается выражением

(17.24)

Единственная меняющаяся со временем величина в (17.23) есть I₁. Поэтому э. д. с. дается выражением

(17.25)

Мы видим, что э. д. с. в катушке 2 пропорциональна скорости изменения тока в катушке 1. Константа пропорциональности — по существу геометрический фактор двух катушек, называется коэффициентом взаимной индукции и обозначается обычно M₂₁. Тогда (17.25) записывается уже в виде

(17.26)

Предположим теперь, что нам нужно было бы пропустить ток через катушку 2 и нас интересует, чему равна э. д. с. в катушке 1. Мы вычислили бы магнитное поле, которое повсюду пропорционально току I₂. Поток сквозь катушку I зависел бы от геометрии, но был бы пропорционален току I₂. Поэтому э. д. с. в катушке 1 снова была бы пропорциональна dI₂/dt. Мы можем записать

(17.27)

Вычисление M₁₂ было бы труднее, чем те вычисления, которые мы проделали для M₂₁. Мы не будем сейчас им заниматься, потому что дальше в этой главе мы покажем, что M₁₂ обязательно равно M₂₁.

Поскольку поле любой катушки пропорционально текущему в ней току, такой же результат получился бы и для любых двух катушек из проволоки. Выражения (17.26) и (17.27) приобрели бы одинаковую форму, и только постоянные M₁₂ и M₂₁ были бы другие. Их значения будут зависеть от формы катушек и их относительного положения.

Предположим, нам нужно найти коэффициент взаимной индукции между двумя произвольными катушками, например показанными на фиг. 17.9.

Фиг. 17.9. Любые две катушки обладают взаимной индукцией m, пропорциональной интегралу от ds₁·ds₂·(1/r₁₂).

Мы знаем, что общее выражение для э. д. с. в катушке 1 можно записать так:

где В — магнитное поле, а интеграл берется по поверхности, ограниченной контуром 1. В гл. 14, § 1 (вып. 5) мы видели, что поверхностный интеграл от В можно свести к контурному интегралу от векторного потенциала. В нашем случае

где А — векторный потенциал, а ds₁ — элемент цепи 1. Контурный интеграл берется вдоль контура 1, поэтому э.д.с. в этой катушке может быть записана в виде

Теперь предположим, что векторный потенциал цепи 1 возникает за счет токов в цепи 2. Тогда его можно записать как контурный интеграл по контуру цепи 2:

(17.29)

где I₂ — ток в цепи 2, а r₁₂ — расстояние от элемента цепи ds₂ к точке на контуре 1, в которой мы вычисляем векторный потенциал (см. фиг. 17.9). Комбинируя (17.28) и (17.29), можно выразить э. д. с. в цепи 1 как двойной контурный интеграл:

В этом выражении все интегралы берутся по неподвижным контурам. Единственной переменной величиной является ток I₂, который не зависит от переменных интегрирования. Поэтому его можно вынести за знак интеграла. Тогда э. д. с. можно записать как

где коэффициент M₁₂ равен

(17.30)

Из этого интеграла очевидно, что M₁₂ зависит только от геометрии цепей; он зависит от некоторого среднего расстояния между двумя цепями, причем в среднее с наибольшим весом входят параллельные отрезки проводников двух катушек. Нашу формулу можно использовать для вычисления коэффициента взаимной индукции любых двух цепей произвольной формы. Кроме того, она показывает, что интеграл для M₁₂ тождествен с интегралом для M₂₁. Таким образом, мы показали, что оба коэффициента одинаковы. Для системы только с двумя катушками коэффициенты M₁₂ и M₂₁ часто обозначают символом M без значков и называют просто коэффициентом взаимной индукции: