§ 4. Другие тензоры; тензор инерции

В физике есть еще немало других примеров тензоров. В металле, например, или каком-либо другом проводнике зачастую оказывается, что плотность тока j приблизительно пропорциональна электрическому полю Е, причем константа пропорциональности называется проводимостью ?:

Однако для кристалла соотношение между j и Е более сложно, проводимость в различных направлениях не одинакова. Она становится тензором, поэтому мы пишем

Другим примером физического тензора является момент инерции. В гл. 18 (вып. 2) мы видели, что момент количества движения L твердого тела, вращающегося относительно фиксированной оси, пропорционален угловой скорости ?, и коэффициент пропорциональности I мы назвали моментом инерции:

Момент инерции тела произвольной формы зависит от его ориентации относительно оси вращения. Моменты инерции прямоугольного бруска, например, относительно каждой из трех ортогональных осей будут разными. Но угловая скорость ? и момент количества движения L — оба векторы. Для вращения относительно одной из осей симметрии они параллельны. Но если моменты инерции относительно каждой из трех главных осей различны, то направления ? и L, вообще говоря, не совпадают (фиг. 31.4).

Фиг. 31.4. Момент количества движения L твердого предмета, вообще говоря, не параллелен вектору угловой скорости ?.

Они связаны точно таким же образом, как Е и Р, т. е. мы должны писать:

(31.16)

Девять коэффициентов I_ij называют тензором инерции. По аналогии с поляризацией кинетическая энергия для любого момента количества движения должна быть некоторой квадратичной формой компонент ?_x, ?_y и ?_z:

(31.17)

Мы можем снова воспользоваться этим выражением для определения эллипсоида инерции. Кроме того, снова можно воспользоваться энергетическими соображениями и показать, что этот тензор симметричен, т. е. I_ij=I_ji.

Тензор инерции твердого тела можно написать, если известна форма тела. Нам нужно только выписать полную кинетическую энергию всех частиц тела. Частица с массой m и скоростью v обладает кинетической энергией ¹/₂mv², а полная кинетическая энергия равна просто сумме

по всем частицам тела. Но скорость v каждой частицы связана с угловой скоростью ?твердого тела. Предположим, что тело вращается относительно центра масс, который мы будем считать покоящимся. Если при этом r — положение частицы относительно центра масс, то ее скорость v задается выражением ??r. Поэтому полная кинетическая энергия равна

(31.18)

Единственное, что нужно теперь сделать, — это переписать ??r через компоненты ?_х, ?_y, ?_z и координаты х, у, z, а затем сравнить результат с уравнением (31.17); приравнивая коэффициенты, найдем I_ij. Проделывая всю эту алгебру, мы пишем:

Умножая это уравнение на m/2, суммируя по всем частицам и сравнивая с уравнением (31.17), мы видим, что I_xx, например, равно

Это и есть та формула для момента инерции тела относительно оси х, которую мы получали уже раньше (гл. 19, вып. 2). Ну а поскольку r²=x²+y²+z², то эту же формулу можно написать в виде

Выписав остальные члены тензора инерции, получим

(31.19)

Если хотите, его можно записать в «тензорных обозначениях»:

(31.20)

где через r_i обозначены компоненты (х, у, z) вектора положения частицы, а ? означает суммирование по всем частицам. Таким образом, момент инерции есть тензор второго ранга, элементы которого определяются свойствами тела и который связывает момент количества движения L с угловой скоростью ?:

(31.21)

Для любого тела независимо от его формы можно найти эллипсоид энергии, а следовательно, и три главные оси. Относительно этих осей тензор будет диагональным, так что для любого объекта всегда есть три ортогональные оси, для которых момент количества движения и угловая скорость параллельны друг другу. Они называются главными осями инерции.