§ 4. Уравнения движения в релятивистских обозначениях[35]

Полученные из уравнений Максвелла электрические и магнитные поля сами по себе не представляют особой ценности, если мы не знаем, что эти поля могут делать, на что они способны. Вы, вероятно, помните, что поля нужны для нахождения действующих на заряды сил и что именно эти силы определяют их движение. Так что связь движения зарядов с силами, разумеется, тоже есть часть электродинамики.

На отдельный заряд, находящийся в полях Е и В, действует сила

(26.23)

При небольших скоростях эта сила равна произведению массы на ускорение, но истинный закон, справедливый при любых скоростях, гласит: сила равна dp/dt. Подставляя p=m₀v/?(1-v²/c²), находим релятивистское уравнение движения заряда:

(26.24)

Теперь мы хотим обсудить это уравнение с точки зрения теории относительности. Поскольку уравнения Максвелла записаны у нас в релятивистской форме, интересно посмотреть, как в релятивистской же форме выглядят уравнения движения. Посмотрим, можно ли переписать уравнения движения в четырехмерных обозначениях.

Мы знаем, что импульс есть часть четырехмерного вектора p_? с энергией m₀/?(1-v²/с²) в качестве временной компоненты, так что мы надеемся заменить левую часть уравнения (26.24) на dp_?/dt. Теперь нам нужно найти только четвертую компоненту силы F. Эта компонента должна быть равна скорости изменения энергии или скорости совершения работы, т. е. F·v. Так что правую часть уравнения (26.24) желательно было бы записать в виде четырехвектора типа (F·v, F_x, F_y, F_z). Однако эти величины не составляют четырехвектора.

Производная четырехвектора по времени не будет больше четырехвектором, так как d/dt требует для измерения t некоторой специальной системы отсчета. С этой трудностью мы уже сталкивались раньше, когда пытались сделать четырехвектор из скорости v. Тогда мы попытались считать, что роль временной компоненты скорости играет cdt/dt=c. Но на самом деле величины

(26.25)

не образуют четырехвектора. После этого мы обнаружили, что их можно превратить в компоненты четырехвектора, если помножить каждую на 1/?(1-v²/с²). «Четырехмерной скоростью» u_? оказался вектор

(26.26)

Вот в чем фокус! Нужно умножать производную d/dt на 1/?(1-v²/с²), если мы хотим превратить ее компоненту в четырехвектор.

Итак, вторая гипотеза: четырехвектором должна быть величина

(26.27)

Но что такое v? Это уже скорость частицы, а не скорость системы координат! Таким образом, обобщением силы на четырехмерное пространство будет величина f_?:

(26.28)

которую мы назовем «4-силой». Она уже четырехвектор, и ее пространственными компонентами будут уже не F, а F/?(1-v²/c²).

Почему же f_? четырехвектор? Неплохо бы понять, что это за таинственный множитель 1/?(1-v²/с²). Так как мы встречаемся с ним уже второй раз, то самое время посмотреть, почему производная d/dt всегда должна входить с одним и тем же множителем. Ответ заключается вот в чем. Когда мы берем производную по времени некоторой функции х, то подсчитываем приращение ?х за малый интервал ?t переменной t. Но в другой системе отсчета интервал ?t может соответствовать изменению как t', так и х', так что при изменении только t' изменение х будет другим. Для наших дифференцирований следовало бы найти такую переменную, которая была бы мерой «интервала» в пространстве-времени и оставалась бы той же самой во всех системах отсчета. Когда в качестве этого интервала мы принимаем приращение ?х, то оно будет тем же во всех системах отсчета. Когда частица «движется» в четырехмерном пространстве, то возникают приращения как ?t, так и ?х, ?y, ?z. Можно ли из них сделать интервал? Да, они образуют компоненты приращения четырехвектора х_?=(сt, х, у, z), так что, если определить величину ?s через

(26.29)

что представляет четырехмерное скалярное произведение, то в ней мы приобретаем настоящий скаляр и можем пользоваться им для измерения четырехмерного интервала. Исходя из величины ?s или ее предела ds, мы можем определить параметр s=?ds. Хорошим четырехмерным оператором будет и производная по s, т. е. d/ds, так как она инвариантна относительно преобразований Лоренца.

Для движущейся частицы ds легко связывается с dt. Для точечной частицы

(26.30)

а

(26.31)

Таким образом, оператор

есть инвариантный оператор. Если подействовать им на любой четырехвектор, то мы получим другой четырехвектор. Например, если мы действуем им на (ct, x, у, z), то получаем четырехвектор скорости

Теперь мы видим, почему ?(1-v²/c²) поправляет дело.

Инвариантная переменная s — очень полезная физическая величина. Ее называют «собственным временем» вдоль траектории частицы, ибо в системе, в любой момент движущейся вместе с частицей, ds просто равно интервалу времени. (В этой системе ?x=?y=?z=0, а ?s=?t.) Если вы представите себе часы, скорость хода которых не зависит от ускорения, то, двигаясь вместе с частицей, такие часы будут показывать время s.

Теперь можно вернуться назад и записать закон Ньютона (подправленный Эйнштейном) в изящной форме:

(26.32)

где f_? определяется формулой (26.28). Импульс же р_? может быть записан в виде

(26.33)

где координаты x_?=(ct, х, у, z) описывают теперь траекторию частицы. Наконец, четырехмерные обозначения приводят нас к очень простой форме уравнений движения:

(26.34)

напоминающей уравнения F=ma. Важно отметить, что уравнения (26.34) и F=ma — вещи разные, ибо четырехвекторная форма уравнения (26.34) содержит в себе релятивистскую механику, которая при больших скоростях отличается от механики Ньютона. Это абсолютно непохоже на случай уравнений Максвелла, где нам нужно был о переписать уравнения в релятивистской форме, совершенно не изменяя их смысла, а изменяя лишь обозначения.

Вернемся теперь к уравнению (26.24) и посмотрим, как в четырехвекторных обозначениях записывается правая часть. Три компоненты F, поделенные на ?(1-v²/c²), составляют пространственные компоненты f_?, так что

(26.35)

Теперь мы должны подставить все величины в их релятивистских обозначениях. Прежде всего c/?(1-v²/c²), v_y/?(1-v²/c²) и v_z/?(1-v²/c²) представляют t-, у- и z-компоненты 4-скорости u_?. Компоненты же Е и В входят в электромагнитный тензор второго ранга F_?v. Отыскав в табл. 26.1 компоненты F_?v, соответствующие Е_х, В_z и В_y, получим

здесь уже начинает вырисовываться что-то интересное. В каждом слагаемом есть индекс х, и это разумно, ибо мы находим х-компоненту силы. Все же остальные индексы появляются в парах tt, yy, zz — все, кроме слагаемого с хх, которое куда-то делось. Давайте просто вставим его и запишем

(26.36)

Этим мы ничего не изменили, так как благодаря антисимметрии F_?v слагаемое F_xx равно нулю. Причиной же нашего желания восстановить его является возможность сокращенной записи уравнения (26.36):

(26.37)

Это по-прежнему уравнение (26.36), если предварительно мы примем соглашение: когда какой-то индекс встречается в произведении дважды (подобно v), нужно автоматически суммировать все слагаемые с одинаковыми значениями этого индекса точно так же, как и в скалярном произведении, т. е. пользуясь тем же самым правилом знаков.

Нетрудно поверить, что уравнение (26.37) так же хорошо работает и для ?=y, и для ?=z. Но как обстоит дело с ?=t? Посмотрим для забавы, что дает формула

Теперь мы снова должны перейти к Е и В. После этого получается

(26.38)

или

Но в (26.28) f_t бралось равным

А это одно и то же, что (26.38), ибо v·(v?B) равно нулю. Так что все идет как нельзя лучше.

В результате наше уравнение движения записывается в элегантном виде:

(26.39)

Как ни приятно видеть столь красиво записанное уравнение, форма эта не особенно полезна. При нахождении движения частицы обычно удобнее пользоваться первоначальным уравнением (26.24), что мы и будем делать в дальнейшем.