§ 5. Операции с ∇
Можно ли с векторным оператором ? производить другие алгебраические действия? Попробуем скомбинировать его с вектором. Из двух векторов можно составить скалярное произведение, причем двоякого рода:
Первое выражение пока что ничего не означает — это все еще оператор. Окончательный смысл его зависит от того, на что он будет действовать. А второе произведение — это некое скалярное поле (потому что А·В — всегда скаляр).
Попробуем составить скалярное произведение ? на известное поле, скажем на h. Распишем покомпонентно
(2.32)
или
(2.33)
Эта сумма инвариантна относительно преобразования координат. Если выбрать другую систему (отмеченную штрихами), то получилось бы[5]
(2.34)
а это — то же самое число, которое получилось бы и из (2.33), хотя с виду оно выглядит иначе, т. е.
(2.35)
в любой точке пространства. Итак, ?·h — это скалярное поле, и оно должно представить собой некоторую физическую величину. Вы должны понимать, что комбинация производных в ?·h имеет довольно специальный вид. Могут быть и другие комбинации всяческого вида, скажем dhy/dx, которые не являются ни скалярами, ни компонентами векторов.
Скалярная величина ?·(Вектор) очень широко применяется в физике. Ей присвоили имя «дивергенция», или «расходимость». Например,
(2.36)
Можно было бы, как и для ?T, описать физический смысл ?·h. Но мы отложим это до лучших времен.
Посмотрим сначала, что еще можно испечь из векторного оператора ?. Как насчет векторного произведения? Можно надеяться, что
(2.37)
Компоненты этого вектора можно написать, пользуясь обычным правилом для векторного произведения [см. (2.2)]:
(2.38)
Подобно этому,
(2.39)
и
(2.40)
Комбинацию ??h называют «ротор» (пишут rot h), или (редко) «вихрь h» (пишут curl h). Происхождение этого названия и физический смысл комбинации мы обсудим позже.
В итоге мы получили три сорта комбинаций, куда входит ?:
Используя эти комбинации, можно пространственные вариации полей записывать в удобном виде, т. е. в виде, не зависящем от той или иной совокупности осей координат.
В качестве примера применения нашего векторного дифференциального оператора ? выпишем совокупность векторных уравнений, в которой содержатся те самые законы электромагнетизма, которые мы словесно высказали в гл. 1. Их называют уравнениями Максвелла.
Уравнения Максвелла
(2.41)
где ? (ро) — «плотность электрического заряда» (количество заряда в единице объема), а j — «плотность электрического тока» (скорость протекания заряда сквозь единицу площади). Эти четыре уравнения содержат в себе законченную классическую теорию электромагнитного поля. Видите, какой элегантной и простой записи мы добились с помощью наших новых обозначений!