§ 2. Что дает добавка

В качестве нашего первого примера рассмотрим, что происходит со сферически симметричным радиальным распределением тока. Представим себе маленькую сферу с нанесенным на ней радиоактивным веществом. Это радиоактивное вещество испускает наружу заряженные частицы. (Мы можем представить также большой кусок желе с маленьким отверстием в центре, в которое с помощью шприца впрыскиваются какие-то заряды и из которого заряды медленно просачиваются.) В любом случае мы имели бы ток, который повсюду направлен по радиусу наружу. Будем считать, что величина его одинакова во всех направлениях.

Пусть полный заряд внутри сферы произвольного радиуса r есть Q(r). Если плотность радиального тока при таком же радиусе равна j(r), то уравнение (18.2) требует, чтобы Q уменьшалось со скоростью

(18.5)

Спросим теперь о магнитном поле, создаваемом токами в этом случае. Предположим, мы начертили какую-то петлю Г на сфере радиуса r (фиг. 18.1). Сквозь петлю проходит какой-то ток, поэтому можно ожидать, что магнитное поле циркулирует в направлении, указанном на фигуре.

Фuг 18.1. Каково магнитное поле сферически симметричного тока?

И сразу возникает затруднение. Как может поле В иметь какое-то особое направление на сфере? При другом выборе петли Г мы бы заключили, что ее направление прямо противоположно указанному. Поэтому возможна ли какая-либо циркуляция В вокруг токов?

Нас спасают уравнения Максвелла. Циркуляция В зависит не только от полного тока, проходящего сквозь петлю Г, но и от скорости изменения со временем электрического потока через нее. Должно быть так, чтобы эти две части как раз погашались. Посмотрим, получается ли это.

Электрическое поле на расстоянии r должно быть равно Q(r)/4??₀r², пока, как мы предположили, заряд распределен симметрично. Поле радиально, и скорость его изменения тогда равна

(18.6)

Сравнивая это с (18.5), мы видим, что для любого расстояния

(18.7)

В уравнении IV (табл. 18.1) оба члена от источника погашаются и ротор В равен всегда нулю. Магнитного поля в нашем примере нет.

В качестве второго нашего примера рассмотрим магнитное поле провода, используемого для зарядки плоского конденсатора (фиг. 18.2).

Фиг. 18.2. Магнитное поле вблизи заряжаемого конденсатора.

Если заряд Q на пластинах со временем изменяется (но не слишком быстро), ток в проводах равен dQ/dt. Мы ожидаем, что этот ток создаст магнитное поле, которое окружает провод. Конечно, ток вблизи провода должен создавать обычное магнитное поле, оно не может зависеть от того, где идет ток.

Предположим, мы выбрали петлю Г₁ в виде окружности с радиусом r (фиг. 18.2, а). Контурный интеграл от магнитного поля будет равен току I, деленному на ?₀с². Мы имеем

(18.8)

Все это мы получили бы для постоянного тока, но результат не изменится, если учесть добавку Максвелла, потому что для плоской поверхности S внутри окружности электрического поля нет (считая, что провод очень хороший проводник). Поверхностный интеграл от ?E/?t равен нулю.

Предположим, однако, что теперь мы медленно продвигаем кривую Г₁ вниз. Мы будем получать всегда тот же самый результат до тех пор, пока не нарисуем кривую вровень с пластинами конденсатора. Тогда ток I будет стремиться к нулю. Исчезнет ли при этом магнитное поле? Это было бы очень странно. Давайте поглядим, что говорит уравнение Максвелла для кривой Г, которая представляет собой окружность радиуса r, плоскость которой проходит между пластинами конденсатора (фиг. 18.2, б). Контурный интеграл от В вокруг Г есть 2?rB. Он должен быть равен производной по времени потока Е, проходящего сквозь плоскую поверхность круга S₂. Этот поток Е, как мы знаем из закона Гаусса, должен быть равен произведению 1/?₀ на заряд Q на одной из пластин конденсатора. Мы имеем

(18.9)

Это очень хорошо. Результат тот же, что мы нашли в (18.8). Интегрирование по меняющемуся электрическому полю дает то же магнитное поле, что и интегрирование по току в проводе. Конечно, как раз об этом и говорит уравнение Максвелла. Легко видеть, что так должно быть всегда, если применить наши рассуждения к двум поверхностям S₁ и S'₁, ограниченным одной и той же окружностью Г₁ на фиг. 18.2, б. Сквозь S₁ проходит ток I, но нет электрического потока. Сквозь S₁ нет тока, но есть электрический поток, меняющийся со скоростью I/?₀. То же поле В получится, если мы применим уравнение IV (табл. 18.1) к каждой поверхности.

Из нашего обсуждения добавки, введенной Максвеллом, у вас могло сложиться впечатление, что она добавляет немного — просто подправляет уравнения в согласии с тем, что мы уже ожидали. Это верно, пока мы рассматриваем уравнение IV само по себе, ничего особенно нового не появляется. Слова само по себе, однако, весьма важны. Небольшое изменение, введенное Максвеллом в уравнение IV в сочетании с другими уравнениями, на самом деле дает много нового и важного. Но прежде чем заняться этим вопросом, поговорим подробнее в табл. 18.1.